Nuvem no plano: covariância 2×2, autovetores PC1 e PC2 a partir da média, perpendiculares à reta PC1 e faixa de escores na primeira componente.
Sobre o modelo
A análise de componentes principais no plano começa pela centralização dos dados. A matriz de covariância 2×2 dos pontos centrados é simétrica e semidefinida positiva; seus autovetores são direções mutuamente perpendiculares de máxima variância, ordenadas pelos autovalores λ₁ ≥ λ₂ ≥ 0. PC1 é a reta pela média ao longo da qual a projeção ortogonal conserva a maior fração da variância; PC2 é perpendicular e leva o resto. O escore de um ponto em PC1 é o produto interno (p − μ)·v₁ com o autovetor unitário, isto é, a coordenada da projeção no subespaço unidimensional. Na tela — a média, setas de comprimento da ordem de √λ, perpendiculares dos pontos à reta PC1 e, embaixo, a faixa desses mesmos escores. A covariância usa o divisor n.
Para quem: Álgebra linear e estatística: autovetores da covariância, projeção, variância explicada.
Conceitos-chave
análise de componentes principais
matriz de covariância
autovetor
autovalor
centralização
projeção ortogonal
variância explicada
aproximação de posto 1
Como funciona
Depois da centralização constrói-se a covariância 2×2; os autovetores são PC1 (máximo de variância) e PC2. O escore em PC1 vale (p − μ)·v₁ e é a coordenada da projeção ortogonal sobre a reta PC1. A faixa de baixo — os mesmos valores num só eixo; as setas estão na escala de cerca de √λ.
Perguntas frequentes
Por que as setas giram se eu desloco um ponto longe?
A análise de componentes principais é global: a covariância depende de todos os pontos. Um valor atípico forte pode entortar a elipse de inércia e mudar as duas direções próprias. Há variantes robustas; aqui elas não aparecem.
Aqui o divisor é n ou n−1?
O divisor n — mais simples para amostras pequenas e gráficos didáticos. A ordem das componentes principais é a mesma; os λ absolutos diferem da variante n−1 por um fator constante.
O que mostra a faixa de baixo?
Os mesmos escores (p − μ)·v₁ da projeção ortogonal sobre a reta PC1. O sinal concorda com a seta da primeira componente: é a imagem unidimensional da mesma nuvem.