Por que o polinômio de Lagrange oscila tanto com muitos nós igualmente espaçados?

É o fenômeno de Runge: para certas funções suaves, a malha uniforme obriga o único polinômio interpolador de grau alto a grandes inflexões perto das extremidades. O erro pode crescer com o grau, embora o polinômio ainda passe por cada nó.

O que quer dizer spline cúbico «natural»?

Nos nós extremos a segunda derivada é posta igual a zero. Isso fixa os graus de liberdade e corresponde à menor «curvatura» (mínimo da integral do quadrado da segunda derivada) entre os interpolantes que passam por todos os nós.

O spline fica sempre mais perto da forma esperada do que o polinômio?

Em geral, à vista, sim: cada pedaço é só cúbico, e não há o comportamento explosivo nas bordas típico dos graus altos. Mas o spline ainda é interpolação exata — para abafar ruído costuma-se passar aos mínimos quadrados ou a splines penalizados.

Por que as abscissas dos nós precisam ser distintas?

O gráfico de uma função não pode passar por duas ordenadas diferentes numa mesma abscissa. Na fórmula de Lagrange os denominadores (xⱼ − xᵢ) se anulariam, e o sistema para um único polinômio ficaria degenerado. Ao acrescentar nós pede-se um vão horizontal mínimo; coincidências depois do arraste são afastadas um pouco.

Lagrange e spline cúbico

Nós com cliques: o polinômio de Lagrange contra o spline cúbico natural. A predefinição de Runge mostra as oscilações nas bordas quando o grau é alto.

Sobre o modelo

A interpolação polinomial constrói uma curva que passa exatamente pelos nós dados. A interpolação de Lagrange define o único polinômio global de grau no máximo n−1 por n abscissas distintas, na forma de produto dos polinômios de base. Com grau alto e malha uniforme o polinômio pode oscilar forte entre os nós — é o fenômeno de Runge. Os splines cúbicos seguem outro caminho: em cada intervalo entre nós vizinhos há um polinômio cúbico distinto; nos nós internos são contínuos o valor, a primeira e a segunda derivadas. O spline cúbico natural anula a segunda derivada nas extremidades e dá, entre os interpolantes duas vezes diferenciáveis, a curva de menor curvatura (mínimo da integral do quadrado da segunda derivada). Os nós podem ser colocados e arrastados; comparam-se o interpolante de Lagrange e o spline natural. A predefinição com malha uniforme no espírito de Runge mostra as oscilações do polinômio nas bordas, enquanto o spline permanece calmo.

Para quem: Métodos numéricos e matemática aplicada: interpolação, fenômeno de Runge, splines.

Conceitos-chave

interpolação de Lagrange
fenômeno de Runge
spline cúbico natural
função polinomial por partes
sistema tridiagonal
continuidade do spline
interpolação e aproximação

Como funciona

A interpolação de Lagrange constrói um único polinômio de grau n−1 por n nós. O spline cúbico natural é uma curva cúbica por partes: em cada intervalo entre nós vizinhos há um cúbico, valores e as duas primeiras derivadas se juntam, e nas extremidades S″ = 0. Na malha uniforme e numa função «aguda» (predefinição de Runge) o grau alto de Lagrange dá grandes oscilações nas bordas; o spline permanece suave.

Fórmulas principais

Lagrange: P(x) = Σⱼ yⱼ · Πᵢ≠ⱼ (x−xᵢ)/(xⱼ−xᵢ)

Spline: cúbico em [xᵢ,xᵢ₊₁]; S, S′, S″ contínuas no interior; S″(x₀)=S″(xₙ₋₁)=0

Perguntas frequentes

Por que o polinômio de Lagrange oscila tanto com muitos nós igualmente espaçados?: É o fenômeno de Runge: para certas funções suaves, a malha uniforme obriga o único polinômio interpolador de grau alto a grandes inflexões perto das extremidades. O erro pode crescer com o grau, embora o polinômio ainda passe por cada nó.
O que quer dizer spline cúbico «natural»?: Nos nós extremos a segunda derivada é posta igual a zero. Isso fixa os graus de liberdade e corresponde à menor «curvatura» (mínimo da integral do quadrado da segunda derivada) entre os interpolantes que passam por todos os nós.
O spline fica sempre mais perto da forma esperada do que o polinômio?: Em geral, à vista, sim: cada pedaço é só cúbico, e não há o comportamento explosivo nas bordas típico dos graus altos. Mas o spline ainda é interpolação exata — para abafar ruído costuma-se passar aos mínimos quadrados ou a splines penalizados.
Por que as abscissas dos nós precisam ser distintas?: O gráfico de uma função não pode passar por duas ordenadas diferentes numa mesma abscissa. Na fórmula de Lagrange os denominadores (xⱼ − xᵢ) se anulariam, e o sistema para um único polinômio ficaria degenerado. Ao acrescentar nós pede-se um vão horizontal mínimo; coincidências depois do arraste são afastadas um pouco.

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