Hipotrocoide ou epitrocoide: raio fixo R, raio que rola r, ponta à distância d. Rastro colorido e dica do período.
Sobre o modelo
O espirógrafo desenha uma hipotrocoide ou uma epitrocoide: a ponta está à distância d do centro de um círculo de raio r que rola sem deslizamento sobre um círculo fixo de raio R. Por dentro (hipotrocoide): x = (R − r) cos t + d cos(((R − r)/r) t), y = (R − r) sin t − d sin(((R − r)/r) t). Por fora (epitrocoide) entra R + r no lugar de R − r, e os sinais do termo em d mudam. Com d = r obtêm-se a hipocicloide e a epicicloide, com cúspides. A curva se fecha se a razão dos raios é racional: a roda móvel volta ao mesmo ponto depois de um número finito de voltas. Não há atrito nem deslizamento. Na tela, rastro colorido e uma dica do período.
Para quem: Equações paramétricas e curvas: hipotrocoide, epitrocoide, razões racionais dos raios.
Conceitos-chave
espirógrafo
hipotrocoide
epitrocoide
hipocicloide
equações paramétricas
rolamento sem deslizamento
Como funciona
A ponta está fixa à distância d do centro de um círculo de raio r que rola sem deslizamento por dentro ou por fora do círculo fixo R. Isso é uma hipotrocoide ou uma epitrocoide. R/r racional fecha a curva; com d = r aparecem as cúspides das cicloides. Na tela, rastro colorido e uma dica do período.
Perguntas frequentes
Quando o desenho se fecha numa roseta finita?
Quando a razão R/r é racional. Depois de um número finito de voltas a ponta volta ao ponto inicial com a mesma fase. O número de pétalas liga-se a quantas voltas faltam até a primeira repetição.
Em que a hipotrocoide difere da epitrocoide?
Na hipotrocoide a roda pequena rola por dentro do anel fixo. Na epitrocoide, por fora. As equações paramétricas diferem no sinal de R ± r, e as famílias de formas são outras.
O que acontece se a distância d da ponta for igual ao raio r?
A ponta fica no bordo do círculo que rola. A hipotrocoide vira hipocicloide e a epitrocoide, epicicloide: no lugar dos laços aparecem cúspides (pontos de retorno).