Por que às vezes é um «oito» fechado e às vezes um novelo emaranhado?

A figura fechada só aparece com razão racional de frequências ωₓ : ωᵧ (por exemplo 3:2). Aí o ponto volta à mesma fase em tempo finito. Com razão irracional não existe período comum, e o rastro vai preenchendo o retângulo.

O que a fase muda quando as frequências são iguais?

Com ωₓ = ωᵧ o deslocamento φ fixa a forma da elipse. Em φ = 0° (ou 180°) é um segmento na diagonal; em 90° — circunferência (aqui as amplitudes são iguais); nos outros ângulos — elipse.

Onde as figuras de Lissajous aparecem na prática?

No osciloscópio dois sinais vão para X e Y e, pela figura, comparam-se frequências e defasagem. As mesmas curvas surgem em duas oscilações perpendiculares na mecânica.

Figuras de Lissajous

Duas oscilações harmônicas em eixos perpendiculares: x = sin(ωₓ t + φ), y = sin(ωᵧ t). Razão inteira de frequências dá curva fechada.

Sobre o modelo

As figuras de Lissajous são o rastro de um ponto com duas oscilações harmônicas nos eixos: x(t) = sin(ωₓ t + φ), y(t) = sin(ωᵧ t). A forma fica determinada pela razão de frequências ωₓ : ωᵧ e pelo deslocamento de fase φ. Com razão racional (1:1, 1:2, 2:3, 3:4) a curva é fechada e periódica. Com razão irracional a trajetória não se fecha e, com o tempo, preenche o retângulo. Com frequências iguais, fase 0° dá um segmento, 90° uma circunferência, valores intermediários uma elipse. As amplitudes aqui são unitárias e não há amortecimento — ao contrário do harmonógrafo, o laço não se encolhe. Essas figuras saem no osciloscópio ao mandar dois sinais para as entradas X e Y.

Para quem: Funções e oscilações: equações paramétricas e composição de harmônicas perpendiculares.

Conceitos-chave

figuras de Lissajous
equações paramétricas
razão de frequências
deslocamento de fase
oscilações harmônicas
curva fechada

Como funciona

Figura de Lissajous paramétrica: x = sin(ωₓ t + φ), y = sin(ωᵧ t). Razões inteiras de frequências dão curvas fechadas; a fase φ muda a forma. O ponto amarelo corre sobre a curva. No osciloscópio comparam-se assim dois sinais harmônicos.

Fórmulas principais

x(t) = sin(ωₓ t + φ), y(t) = sin(ωᵧ t)

Perguntas frequentes

Por que às vezes é um «oito» fechado e às vezes um novelo emaranhado?: A figura fechada só aparece com razão racional de frequências ωₓ : ωᵧ (por exemplo 3:2). Aí o ponto volta à mesma fase em tempo finito. Com razão irracional não existe período comum, e o rastro vai preenchendo o retângulo.
O que a fase muda quando as frequências são iguais?: Com ωₓ = ωᵧ o deslocamento φ fixa a forma da elipse. Em φ = 0° (ou 180°) é um segmento na diagonal; em 90° — circunferência (aqui as amplitudes são iguais); nos outros ângulos — elipse.
Onde as figuras de Lissajous aparecem na prática?: No osciloscópio dois sinais vão para X e Y e, pela figura, comparam-se frequências e defasagem. As mesmas curvas surgem em duas oscilações perpendiculares na mecânica.

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