Por que os resíduos vão ao quadrado, e não se tomam os módulos?

O quadrado pune mais os desvios grandes, e a função S(a, b) é diferenciável em toda parte, de modo que as equações normais dão uma solução explícita. A soma dos módulos (mínimos desvios absolutos) também vale, mas em geral pede iterações e não tem a mesma fórmula simples.

Por que a reta passa sempre por (x̄, ȳ)?

É a forma das equações normais do modelo linear simples: o coeficiente linear é escolhido para a média das previsões coincidir com a média da resposta. O baricentro da amostra fica sobre a reta dos mínimos quadrados.

Onde isso entra no laboratório de física?

Na determinação de g a partir de s(t) ruidoso, na calibração de um sensor, na verificação de uma lei linear. Sempre que se traça pela nuvem a reta de «melhor ajuste», na maior parte das vezes são os mínimos quadrados.

Quando o modelo linear falha?

Se a tendência verdadeira é curva (quadrado, exponencial), a reta traz erro sistemático. O modelo também supõe dispersão constante em y e pontos independentes; com heterocedasticidade ou valores atípicos as estimativas se enviesam.

Mínimos quadrados

Pontos ruidosos e a reta y = ax + b que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos verticais. Mude a inclinação, o intercepto e o ruído — aparecem os resíduos e a soma dos quadrados dos erros.

Sobre o modelo

O método dos mínimos quadrados procura a reta que melhor aproxima a nuvem de pontos no sentido da soma dos quadrados dos desvios verticais. Para o modelo y = ax + b minimiza-se S(a, b) = Σ(y_i − ax_i − b)². As derivadas parciais em a e b, igualadas a zero, dão as equações normais; delas saem as únicas estimativas da inclinação e do coeficiente linear. A reta passa sempre pelo baricentro da amostra (x̄, ȳ). Supõe-se tendência linear e toda a incerteza no eixo y. Na tela — a reta que gerou os pontos, a reta ajustada e os resíduos verticais. Variam-se o número de pontos, a amplitude do ruído e os parâmetros da geração.

Para quem: Ensino médio e início da faculdade: estatística, tratamento de dados de laboratório, ajuste de reta.

Conceitos-chave

método dos mínimos quadrados
regressão linear
resíduo
coeficiente angular
coeficiente linear
soma dos quadrados dos erros
equações normais

Como funciona

O método dos mínimos quadrados minimiza S(a, b) = Σ(y_i − ax_i − b)². Das equações normais saem a inclinação a e o coeficiente linear b; a reta passa por (x̄, ȳ). Na tela a reta amarela é a estimativa, os segmentos vermelhos são os resíduos verticais, a azul é a reta «verdadeira» que gerou os pontos.

Perguntas frequentes

Por que os resíduos vão ao quadrado, e não se tomam os módulos?: O quadrado pune mais os desvios grandes, e a função S(a, b) é diferenciável em toda parte, de modo que as equações normais dão uma solução explícita. A soma dos módulos (mínimos desvios absolutos) também vale, mas em geral pede iterações e não tem a mesma fórmula simples.
Por que a reta passa sempre por (x̄, ȳ)?: É a forma das equações normais do modelo linear simples: o coeficiente linear é escolhido para a média das previsões coincidir com a média da resposta. O baricentro da amostra fica sobre a reta dos mínimos quadrados.
Onde isso entra no laboratório de física?: Na determinação de g a partir de s(t) ruidoso, na calibração de um sensor, na verificação de uma lei linear. Sempre que se traça pela nuvem a reta de «melhor ajuste», na maior parte das vezes são os mínimos quadrados.
Quando o modelo linear falha?: Se a tendência verdadeira é curva (quadrado, exponencial), a reta traz erro sistemático. O modelo também supõe dispersão constante em y e pontos independentes; com heterocedasticidade ou valores atípicos as estimativas se enviesam.

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