Гипотрохоида или эпитрохоида: неподвижный радиус R, катящийся r, перо на расстоянии d. Цветной след и подсказка о периоде.
О модели
Спирограф чертит гипотрохоиду или эпитрохоиду: перо на расстоянии d от центра окружности радиуса r, которая катится без проскальзывания по неподвижной окружности радиуса R. Внутри (гипотрохоида): x = (R − r) cos t + d cos(((R − r)/r) t), y = (R − r) sin t − d sin(((R − r)/r) t). Снаружи (эпитрохоида) вместо R − r стоит R + r, знаки у члена с d меняются. При d = r получаются гипоциклоида и эпициклоида с остриями. Кривая замыкается, если отношение радиусов рационально: катящееся колесо возвращается в ту же точку после конечного числа оборотов. Трения и проскальзывания нет. На экране цветной след и подсказка о периоде.
Для кого: Параметрические уравнения и кривые: гипотрохоида, эпитрохоида, рациональные отношения радиусов.
Ключевые понятия
спирограф
гипотрохоида
эпитрохоида
гипоциклоида
параметрические уравнения
качение без проскальзывания
Как это работает
Перо закреплено на расстоянии d от центра окружности радиуса r, которая катится без проскальзывания внутри или снаружи неподвижной окружности R. Это гипотрохоида или эпитрохоида. Рациональное R/r даёт замкнутую кривую; при d = r появляются острия циклоид. На экране цветной след и подсказка о периоде.
Часто задаваемые вопросы
Когда узор замыкается в конечную розетку?
Когда отношение R/r рационально. Тогда после конечного числа оборотов перо возвращается в исходную точку с той же фазой. Число лепестков связано с тем, сколько оборотов нужно до первого повторения.
Чем гипотрохоида отличается от эпитрохоиды?
Гипотрохоида — малое колесо катится внутри неподвижного кольца. Эпитрохоида — снаружи. Параметрические уравнения различаются знаком у R ± r, и семейства форм разные.
Что будет, если расстояние пера d равно радиусу r?
Перо лежит на ободе катящегося круга. Гипотрохоида становится гипоциклоидой, эпитрохоида — эпициклоидой: вместо петель появляются острия (точки возврата).