Hipotrocoide o epitrocoide: radio fijo R, radio que rueda r, pluma a distancia d. Rastro de color y una pista sobre el período.
Sobre el modelo
El espirógrafo traza una hipotrocoide o una epitrocoide: la pluma está a distancia d del centro de una circunferencia de radio r que rueda sin deslizamiento sobre una circunferencia fija de radio R. Por dentro (hipotrocoide): x = (R − r) cos t + d cos(((R − r)/r) t), y = (R − r) sin t − d sin(((R − r)/r) t). Por fuera (epitrocoide) en lugar de R − r va R + r, y cambian los signos del término con d. Si d = r se obtienen la hipocicloide y la epicicloide, con cúspides. La curva se cierra si la razón de radios es racional: la rueda que rueda vuelve al mismo punto tras un número finito de vueltas. No hay fricción ni deslizamiento. En pantalla, rastro de color y una pista sobre el período.
Para quién: Ecuaciones paramétricas y curvas: hipotrocoide, epitrocoide, razones racionales de radios.
Conceptos clave
espirógrafo
hipotrocoide
epitrocoide
hipocicloide
ecuaciones paramétricas
rodadura sin deslizamiento
Cómo funciona
La pluma está a distancia d del centro de una circunferencia de radio r que rueda sin deslizamiento por dentro o por fuera de una circunferencia fija R. Eso es una hipotrocoide o una epitrocoide. Un R/r racional cierra la curva; si d = r aparecen las cúspides de las cicloides. En pantalla, rastro de color y una pista sobre el período.
Preguntas frecuentes
¿Cuándo el dibujo se cierra en una roseta finita?
Cuando la razón R/r es racional. Entonces, tras un número finito de vueltas, la pluma vuelve al punto de partida con la misma fase. El número de pétalos está ligado a cuántas vueltas hacen falta hasta la primera repetición.
¿En qué se diferencia la hipotrocoide de la epitrocoide?
Hipotrocoide: la rueda chica rueda por dentro del anillo fijo. Epitrocoide: por fuera. Las ecuaciones paramétricas cambian el signo de R ± r, y las familias de formas son distintas.
¿Qué ocurre si la distancia de la pluma d es igual al radio r?
La pluma queda en el borde de la rueda que rueda. La hipotrocoide pasa a ser hipocicloide y la epitrocoide, epicicloide: en lugar de lazos aparecen cúspides (puntos de retroceso).