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Início/Visualização matemática/Bifurcações do mapa logístico

Bifurcações do mapa logístico

Mapa xₙ₊₁ = r xₙ(1 − xₙ): na horizontal o parâmetro r, na vertical os valores no atrator. Veem-se a duplicação de período e o caos (cascata de Feigenbaum).

Parâmetros

2.5
4
800
120
0.35

Grandezas medidas

Janela em r2.50 … 4.00
r∞ ≈3.569946

Sobre o modelo

As bifurcações do mapa logístico xₙ₊₁ = r xₙ(1 − xₙ) são o exemplo clássico de caos determinístico em tempo discreto. Com um início típico e r entre cerca de 2 e 4, a órbita fica no intervalo [0, 1]. Se r é pequeno há um ponto fixo estável; ao crescer r ele perde estabilidade numa bifurcação de duplicação de período, depois perde estabilidade o 2-ciclo, aparece um 4-ciclo, e assim por diante: a cascata de Feigenbaum. Depois de se acumularem as bifurcações, em r∞ ≈ 3,569945… surgem faixas caóticas com janelas de periodicidade. Diagrama de bifurcações: para muitos r na horizontal descarta-se o regime transiente e depois marcam-se na vertical os x seguintes; o brilho é a frequência de visita. É outro objeto, distinto do crescimento logístico contínuo dN/dt = rN(1 − N/K), em que na formulação escalar autônoma não há caos.

Para quem: Sistemas dinâmicos e caos: comparação dos modelos logísticos discreto e contínuo.

Conceitos-chave

  • mapa logístico
  • diagrama de bifurcações
  • duplicação de período
  • constante de Feigenbaum
  • caos determinístico
  • atrator
  • diagrama de órbita

Como funciona

Mapa logístico xₙ₊₁ = r xₙ(1 − xₙ) no intervalo [0, 1]: na horizontal o parâmetro r, na vertical os valores de x depois do aquecimento e de uma iteração longa. O brilho reflete com que frequência a órbita visita o pixel. Veem-se a cascata de duplicação de período e o caos; um corte vertical a r fixo se parece com o diagrama de órbita. A pontilhada é r∞ ≈ 3,569945… (acumulação das bifurcações). O crescimento logístico contínuo dN/dt é um parente, mas outro objeto.

Fórmulas principais

xₙ₊₁ = r xₙ(1 − xₙ), 0 ≤ x ≤ 1

Perguntas frequentes

Por que na região caótica a figura fica «grossa» ou borrada?
As órbitas caóticas são sensíveis às condições iniciais e preenchem um conjunto invariante de estrutura rica. Muitas iterações dão uma nuvem densa; um aquecimento curto deixa caudas que vêm de x₀.
O que significa a linha pontilhada perto de r ≈ 3,57?
É o ponto de acumulação aproximado r∞ da cascata de duplicação de período: depois dele, os ciclos de período 2ⁿ já são instáveis em conjunto e domina uma dinâmica mais complexa, embora dentro do caos restem janelas periódicas.
É o mesmo modelo que «Crescimento logístico»?
São parentes, mas objetos distintos: lá se integra a equação dN/dt = rN(1 − N/K). Aqui é um mapa discreto com uma não linearidade parecida; justamente esse mapa dá as bifurcações e o caos.
Para que mudar os passos de aquecimento e o número de iterações?
O aquecimento descarta a aproximação ao atrator; sem ele veem-se caudas que vêm de x₀. Mais iterações enchem o diagrama com mais densidade, mas pesam mais no cálculo.