Estabilidade absoluta no plano z = hλ para Euler explícito, RK2 e RK4: mova λ e h, compare |R(z)| e veja por que modos rígidos pedem passos explícitos pequenos.
Sobre o modelo
As regiões de estabilidade de Runge–Kutta vêm da equação de teste linear y′ = λy: um método de um passo com passo fixo dá a transição yₙ₊₁ = R(z) yₙ, em que z = hλ. O método é absolutamente estável no ponto z se os passos repetidos não amplificam o modo: |R(z)| ≤ 1. No plano complexo z estão pintadas as regiões de estabilidade do Euler explícito (R = 1 + z), do RK2 (R = 1 + z + z²/2) e do RK4 clássico (R = 1 + z + z²/2 + z³/6 + z⁴/24). Os controles movem λ e h, de modo que o ponto z = hλ percorre o mapa; um segundo ponto multiplica a parte real por um fator de rigidez e mostra como um modo amortecido rápido pode sair da região, mesmo que o modo lento ainda esteja seguro. É a ligação entre as fórmulas de Runge–Kutta, o fator de amplificação e a restrição de passo em EDOs rígidas e em semidiscretizações de equações diferenciais parciais.
Para quem: Métodos numéricos: estabilidade, EDOs rígidas, esquemas explícitos de Runge–Kutta.
Conceitos-chave
método de Runge–Kutta
estabilidade absoluta
função de estabilidade
método de Euler
RK2
RK4
EDO rígida
equação de teste
Como funciona
Para o teste y′ = λy o método de um passo multiplica a solução por R(z), com z = hλ. Estão pintadas as regiões |R(z)| ≤ 1 de Euler, RK2, RK4; o ponto laranja é o hλ atual, o rosa é um modo mais rígido. Se o ponto está fora da região, o passo explícito amplifica um modo que deveria amortecer.
Fórmulas principais
Test equation y′ = λy, z = hλ. Stability functions: R_E = 1+z, R_RK2 = 1+z+z²/2, R_RK4 = 1+z+z²/2+z³/6+z⁴/24. Stable when |R(z)| ≤ 1.
Perguntas frequentes
Por que se usa a equação de teste y′ = λy?
Perto de um ponto estacionário muitos sistemas se linearizam em modos do tipo e^{λt}. O método numérico aplica a cada modo o seu fator R(hλ), de modo que o teste escalar mostra depressa se um modo contínuo amortecido também amortece no esquema discreto.
Por que o RK4 não é estável para todo λ real negativo?
Nos métodos explícitos de Runge–Kutta as regiões de estabilidade são limitadas. No eixo real negativo o RK4 chega só até cerca de z ≈ −2,785. Se λ é muito negativo, hλ sai da região a menos que se tome h pequeno. É a restrição típica do passo explícito no amortecimento rígido.
Estar na região de estabilidade garante precisão?
Não. Estabilidade só diz que o modo discreto não cresce de forma artificial. Com um h grande demais a solução pode ser estável e mesmo assim imprecisa; a precisão continua a ser dada pelo erro de aproximação e pela suavidade do problema.