Почему то замкнутая «восьмёрка», то запутанный клубок?

Замкнутая фигура получается только при рациональном отношении частот ωₓ : ωᵧ (например 3:2). Тогда точка через конечное время возвращается в ту же фазу. При иррациональном отношении период общий не существует, и след постепенно заполняет прямоугольник.

Что меняет фаза при одинаковых частотах?

При ωₓ = ωᵧ сдвиг φ задаёт форму эллипса. При φ = 0° (или 180°) это отрезок по диагонали; при 90° — окружность (здесь амплитуды равны); при остальных углах — эллипс.

Где фигуры Лиссажу встречаются на практике?

На осциллографе два сигнала подают на X и Y и по фигуре сравнивают частоты и сдвиг фазы. Те же кривые возникают у двух взаимно перпендикулярных колебаний в механике.

Фигуры Лиссажу

Два гармонических колебания по взаимно перпендикулярным осям: x = sin(ωₓ t + φ), y = sin(ωᵧ t). Целое отношение частот даёт замкнутую кривую.

О модели

Фигуры Лиссажу — след точки, у которой по осям идут два гармонических колебания: x(t) = sin(ωₓ t + φ), y(t) = sin(ωᵧ t). Форма определяется отношением частот ωₓ : ωᵧ и сдвигом фазы φ. При рациональном отношении (1:1, 1:2, 2:3, 3:4) кривая замкнута и периодична. При иррациональном отношении траектория не замыкается и со временем заполняет прямоугольник. При равных частотах фаза 0° даёт отрезок, 90° — окружность, промежуточные значения — эллипс. Амплитуды здесь равны единице, затухания нет — в отличие от гармонографа петля не сжимается. Такие фигуры получают на осциллографе, подавая два сигнала на входы X и Y.

Для кого: Алгебра и начала анализа; колебания: параметрические уравнения и сложение взаимно перпендикулярных гармоник.

Ключевые понятия

фигуры Лиссажу
параметрические уравнения
отношение частот
сдвиг фазы
гармонические колебания
замкнутая кривая

Как это работает

Параметрическая фигура Лиссажу: x = sin(ωₓ t + φ), y = sin(ωᵧ t). Целые отношения частот дают замкнутые кривые; фаза φ меняет форму. Жёлтая точка бежит по кривой. На осциллографе так сравнивают два гармонических сигнала.

Основные формулы

x(t) = sin(ωₓ t + φ), y(t) = sin(ωᵧ t)

Часто задаваемые вопросы

Почему то замкнутая «восьмёрка», то запутанный клубок?: Замкнутая фигура получается только при рациональном отношении частот ωₓ : ωᵧ (например 3:2). Тогда точка через конечное время возвращается в ту же фазу. При иррациональном отношении период общий не существует, и след постепенно заполняет прямоугольник.
Что меняет фаза при одинаковых частотах?: При ωₓ = ωᵧ сдвиг φ задаёт форму эллипса. При φ = 0° (или 180°) это отрезок по диагонали; при 90° — окружность (здесь амплитуды равны); при остальных углах — эллипс.
Где фигуры Лиссажу встречаются на практике?: На осциллографе два сигнала подают на X и Y и по фигуре сравнивают частоты и сдвиг фазы. Те же кривые возникают у двух взаимно перпендикулярных колебаний в механике.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 85 в «Визуализация математики».

Вся категория →

НовоеДети

Гармонограф

Запустить симулятор

По осям x и y — суммы двух затухающих гармоник. При малом затухании — фигуры Лиссажу; при заметном — угасающая розетка.

ПопулярноеШкольные

Ряды Фурье

Запустить симулятор

Периодическую функцию раскладывают в сумму гармоник — синусов и косинусов кратных частот. Меняйте число членов и сравнивайте частичную сумму с меандром, пилой или треугольником.

НовоеШкольные

Комплексный фазор

Запустить симулятор

Точка e^{i(ωt+φ)} на единичной окружности; проекции Re, Im и фаза φ.

НовоеШкольные

Лотка–Вольтерра

Запустить симулятор

Классическая модель хищник–жертва: N′ = αN − βNP, P′ = δNP − γP. Фазовая плоскость, интегрирование Рунге–Кутты, точка равновесия (γ/δ, α/β).

НовоеШкольные

Логистический рост

Запустить симулятор

Логистическое уравнение dN/dt = rN(1 − N/K): S-образная кривая и выход на ёмкость среды K. График — точное решение, не шаг Эйлера.

НовоеДети

Спирограф (трохоиды)

Запустить симулятор

Гипотрохоида или эпитрохоида: неподвижный радиус R, катящийся r, перо на расстоянии d. Цветной след и подсказка о периоде.

Фигуры Лиссажу

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы

Похожие симуляторы

Гармонограф

Ряды Фурье

Комплексный фазор

Лотка–Вольтерра

Логистический рост

Спирограф (трохоиды)

Фигуры Лиссажу

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы