¿Por qué a veces es un ocho cerrado y a veces un ovillo enredado?

La figura cerrada aparece solo con razón racional de frecuencias ωₓ : ωᵧ (por ejemplo 3:2). Entonces el punto vuelve en un tiempo finito a la misma fase. Con razón irracional no hay período común y el rastro va llenando el rectángulo.

¿Qué cambia la fase cuando las frecuencias son iguales?

Si ωₓ = ωᵧ, el desfase φ fija la forma de la elipse. Con φ = 0° (o 180°) es un segmento en la diagonal; con 90°, una circunferencia (aquí las amplitudes son iguales); en los demás ángulos, una elipse.

¿Dónde se ven las figuras de Lissajous en la práctica?

En el osciloscopio se aplican dos señales a X e Y y por la figura se comparan frecuencias y desfase. Las mismas curvas aparecen en dos oscilaciones perpendiculares en mecánica.

Figuras de Lissajous

Dos oscilaciones armónicas en ejes perpendiculares: x = sin(ωₓ t + φ), y = sin(ωᵧ t). Una razón entera de frecuencias da una curva cerrada.

Sobre el modelo

Las figuras de Lissajous son el rastro de un punto cuyas coordenadas siguen dos oscilaciones armónicas: x(t) = sin(ωₓ t + φ), y(t) = sin(ωᵧ t). La forma la fijan la razón de frecuencias ωₓ : ωᵧ y el desfase φ. Con razón racional (1:1, 1:2, 2:3, 3:4) la curva es cerrada y periódica. Con razón irracional la trayectoria no se cierra y con el tiempo llena el rectángulo. A frecuencias iguales, φ = 0° da un segmento, 90° una circunferencia y los valores intermedios una elipse. Aquí las amplitudes valen uno y no hay amortiguamiento: a diferencia del harmonógrafo, el lazo no se encoge. Esas figuras se obtienen en el osciloscopio al aplicar dos señales a las entradas X e Y.

Para quién: Álgebra y cálculo; oscilaciones: ecuaciones paramétricas y suma de oscilaciones armónicas perpendiculares.

Conceptos clave

figuras de Lissajous
ecuaciones paramétricas
razón de frecuencias
desfase
oscilaciones armónicas
curva cerrada

Cómo funciona

Figura paramétrica de Lissajous: x = sin(ωₓ t + φ), y = sin(ωᵧ t). Las razones enteras de frecuencias dan curvas cerradas; la fase φ cambia la forma. El punto amarillo recorre la curva. En el osciloscopio así se comparan dos señales armónicas.

Fórmulas principales

x(t) = sin(ωₓ t + φ), y(t) = sin(ωᵧ t)

Preguntas frecuentes

¿Por qué a veces es un ocho cerrado y a veces un ovillo enredado?: La figura cerrada aparece solo con razón racional de frecuencias ωₓ : ωᵧ (por ejemplo 3:2). Entonces el punto vuelve en un tiempo finito a la misma fase. Con razón irracional no hay período común y el rastro va llenando el rectángulo.
¿Qué cambia la fase cuando las frecuencias son iguales?: Si ωₓ = ωᵧ, el desfase φ fija la forma de la elipse. Con φ = 0° (o 180°) es un segmento en la diagonal; con 90°, una circunferencia (aquí las amplitudes son iguales); en los demás ángulos, una elipse.
¿Dónde se ven las figuras de Lissajous en la práctica?: En el osciloscopio se aplican dos señales a X e Y y por la figura se comparan frecuencias y desfase. Las mismas curvas aparecen en dos oscilaciones perpendiculares en mecánica.

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