O que −Δu = f descreve fisicamente?

O potencial eletrostático a partir de uma densidade de carga, a condução estacionária de calor com fontes ou a flecha de uma membrana sob carga. As interpretações mudam; o operador elíptico e as condições de contorno são os mesmos.

Por que as condições de Neumann são chamadas naturais no MEF?

Depois da integração por partes, os termos de fluxo entram no segundo membro como ∫_Γ_N g v ds. Os valores de Dirichlet precisam ser impostos prescrevendo graus de liberdade; os dados de Neumann entram direto como carga.

Este é um código industrial de elementos finitos?

Não. É um modelo didático numa malha triangular estruturada, com quadratura simples e um método básico de gradientes conjugados. Os pacotes industriais acrescentam geração de malhas, elementos de ordem alta, pré-condicionamento, estimativa de erro e geometrias complexas.

Elementos finitos: equação de Poisson

Elementos P1 triangulares para −Δu = f no quadrado: montagem das matrizes de rigidez, nós de Dirichlet prescritos ou fluxo natural de Neumann, solução pelos gradientes conjugados, potencial como membrana colorida.

Sobre o modelo

A equação de Poisson −Δu = f no quadrado unitário é resolvida pelo método dos elementos finitos. O domínio é particionado numa malha triangular regular; em cada triângulo usam-se funções de base lineares P1. A matriz de rigidez local é montada a partir dos gradientes da base, Kᵉ_ij = (b_i b_j + c_i c_j)/(4A), e acumulada no sistema global esparso. A fonte é integrada no baricentro. Nas condições de Dirichlet todos os nós de fronteira ficam prescritos: u = 0, como uma membrana presa à moldura. No regime misto, os lados esquerdo e direito são Dirichlet, e o topo e a base contribuem com fluxos naturais de Neumann no segundo membro. O sistema simétrico definido positivo é resolvido pelo método dos gradientes conjugados. À esquerda o potencial é colorido nos triângulos; à direita o mesmo campo é erguido como uma membrana deformável.

Para quem: Equações diferenciais parciais numéricas e mecânica computacional: forma fraca, triângulos P1, condições de Dirichlet e de Neumann.

Conceitos-chave

método dos elementos finitos
equação de Poisson
malha triangular
elemento P1
forma fraca
condição de Dirichlet
condição de Neumann
método dos gradientes conjugados

Como funciona

A equação −Δu = f no quadrado: o domínio é dividido em triângulos P1 e as matrizes de rigidez locais são montadas no sistema global. A condição de Dirichlet prescreve os nós; a de Neumann acrescenta fluxo no segundo membro. A solução pelos gradientes conjugados aparece como potencial colorido e como altura da membrana.

Fórmulas principais

Weak form: find u such that ∫Ω ∇u·∇v dΩ = ∫Ω f v dΩ + ∫Γ_N g v ds. P1 triangles give local stiffness K_ij^e = (b_i b_j + c_i c_j)/(4A); Dirichlet values are pinned.

Perguntas frequentes

O que −Δu = f descreve fisicamente?: O potencial eletrostático a partir de uma densidade de carga, a condução estacionária de calor com fontes ou a flecha de uma membrana sob carga. As interpretações mudam; o operador elíptico e as condições de contorno são os mesmos.
Por que as condições de Neumann são chamadas naturais no MEF?: Depois da integração por partes, os termos de fluxo entram no segundo membro como ∫_Γ_N g v ds. Os valores de Dirichlet precisam ser impostos prescrevendo graus de liberdade; os dados de Neumann entram direto como carga.
Este é um código industrial de elementos finitos?: Não. É um modelo didático numa malha triangular estruturada, com quadratura simples e um método básico de gradientes conjugados. Os pacotes industriais acrescentam geração de malhas, elementos de ordem alta, pré-condicionamento, estimativa de erro e geometrias complexas.

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