É um modelo realista de uma pilha de areia de verdade?

Não. Na areia real importam a forma dos grãos, o atrito e a inércia; muitas vezes há um tamanho típico de desabamento. Aqui só há limiar local e redistribuição, para ver avalanches invariantes de escala.

O que significa «lei de potência» para as avalanches?

Não há tamanho típico. A probabilidade de uma avalanche de tamanho s comporta-se como s^{−τ}. Os eventos pequenos são frequentes; os grandes, raros, também ocorrem e cobrem a rede inteira. A falta de uma escala característica é a marca da criticidade.

Por que o modelo se chama abeliano?

A configuração estável final, depois de acrescentar grãos, não depende da ordem em que desmoronaram as células instáveis. Essa comutatividade convém à análise.

Pilha de areia (Bak–Tang–Wiesenfeld)

Modelo abeliano: acrescentam-se grãos; se a altura ≥ 4, desmorona para os vizinhos. Avalanches sem ajustar o limiar — criticidade auto-organizada.

Sobre o modelo

A pilha de areia de Bak–Tang–Wiesenfeld é um autômato celular numa rede quadrada. Coloca-se um grão numa célula; a altura cresce de 1. Se a altura é ≥ 4, a célula desmorona: um grão para cada um dos quatro vizinhos (vizinhança de von Neumann). Os vizinhos também podem ultrapassar o limiar — avalanche. A configuração estável final não depende da ordem dos desmoronamentos (propriedade abeliana). Depois de muitas adições ao acaso, o sistema chega sozinho a um estado crítico: os tamanhos das avalanches seguem uma lei de potência; não há escala característica. Não há inércia, nem forma dos grãos, nem atrito: só limiar e redistribuição; os grãos que saem pela borda da rede se perdem.

Para quem: Física estatística e sistemas complexos: criticidade auto-organizada, avalanches em lei de potência.

Conceitos-chave

criticidade auto-organizada
modelo de Bak–Tang–Wiesenfeld
avalanche
distribuição em lei de potência
estado crítico
autômato celular
pilha de areia abeliana

Como funciona

Numa rede quadrada coloca-se um grão numa célula ao acaso. Se a altura é ≥ 4, a célula entrega um grão a cada um dos quatro vizinhos; esses também podem desmoronar — avalanche. Depois de muitas adições a pilha chega sozinha ao estado crítico: os tamanhos das avalanches não têm escala característica (lei de potência). O limiar 4 não se ajusta de fora: nisso consiste a criticidade auto-organizada.

Perguntas frequentes

É um modelo realista de uma pilha de areia de verdade?: Não. Na areia real importam a forma dos grãos, o atrito e a inércia; muitas vezes há um tamanho típico de desabamento. Aqui só há limiar local e redistribuição, para ver avalanches invariantes de escala.
O que significa «lei de potência» para as avalanches?: Não há tamanho típico. A probabilidade de uma avalanche de tamanho s comporta-se como s^{−τ}. Os eventos pequenos são frequentes; os grandes, raros, também ocorrem e cobrem a rede inteira. A falta de uma escala característica é a marca da criticidade.
Por que o modelo se chama abeliano?: A configuração estável final, depois de acrescentar grãos, não depende da ordem em que desmoronaram as células instáveis. Essa comutatividade convém à análise.

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