Por que pontos ao acaso dão justamente π?

A probabilidade de cair no círculo é a razão das áreas: π/4. Contar acertos mede essa probabilidade. O problema geométrico de uma área vira uma contagem estatística.

Por que a estimativa às vezes piora quando há mais pontos?

A convergência é estatística, não monótona. Um lote curto, por flutuações, pode afastar a estimativa de π. A lei dos grandes números fala da tendência a N grande, não de cada passo.

É assim que se calcula π na prática?

Não: para muitas casas há séries determinísticas rápidas. O método de Monte Carlo aqui é de aula. A mesma ideia serve para integrais multidimensionais difíceis, em que as malhas já não dão conta.

O que quer dizer «pontos uniformes»?

Cada ponto do quadrado é equiprovável, sem viés para o centro ou a borda. Caso contrário a razão de acertos já não é a razão das áreas. No computador isso é um gerador pseudoaleatório.

Monte Carlo: estimativa de π

Pontos aleatórios uniformes num quadrado; estimativa π ≈ 4·(pontos no círculo)/N.

Sobre o modelo

Monte Carlo: estimativa de π — no quadrado [−1, 1]² lançam-se pontos uniformes e conta-se a fração que cai no círculo unitário x² + y² ≤ 1. A razão das áreas vale π/4, de modo que π ≈ 4M/N, em que M é o número de acertos e N o de ensaios. Os pontos são independentes e o gerador toma-se uniforme. Pela lei dos grandes números a estimativa converge a π ao crescer N, mas o caminho é ruidoso: um lote curto de pontos pode piorar a estimativa por um tempo. Para muitas casas de π há séries bem mais rápidas; aqui importa o sentido geométrico da probabilidade.

Para quem: Probabilidade e métodos numéricos: probabilidade geométrica, método de Monte Carlo.

Conceitos-chave

método de Monte Carlo
probabilidade geométrica
distribuição uniforme
lei dos grandes números
estimativa de π
razão de áreas

Como funciona

Pontos uniformes no quadrado [−1, 1]² caem no círculo unitário com probabilidade π/4. A estimativa é π ≈ 4·(acertos)/N. Na tela, pontos dentro e fora do círculo; ao crescer N a estimativa se aproxima de π e a dispersão cai mais ou menos como 1/√N.

Perguntas frequentes

Por que pontos ao acaso dão justamente π?: A probabilidade de cair no círculo é a razão das áreas: π/4. Contar acertos mede essa probabilidade. O problema geométrico de uma área vira uma contagem estatística.
Por que a estimativa às vezes piora quando há mais pontos?: A convergência é estatística, não monótona. Um lote curto, por flutuações, pode afastar a estimativa de π. A lei dos grandes números fala da tendência a N grande, não de cada passo.
É assim que se calcula π na prática?: Não: para muitas casas há séries determinísticas rápidas. O método de Monte Carlo aqui é de aula. A mesma ideia serve para integrais multidimensionais difíceis, em que as malhas já não dão conta.
O que quer dizer «pontos uniformes»?: Cada ponto do quadrado é equiprovável, sem viés para o centro ou a borda. Caso contrário a razão de acertos já não é a razão das áreas. No computador isso é um gerador pseudoaleatório.

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