Por que o planeta é mais rápido no periélio do que no afélio?

Segunda lei de Kepler: no mesmo tempo varre-se a mesma área. Mais perto do Sol o raio vetor é mais curto, então no mesmo intervalo o corpo percorre um arco maior — a velocidade é maior. É o mesmo que a conservação do momento angular num campo central.

Por que a terceira lei liga justamente T² e a³?

Para uma órbita circular no campo ∝ 1/r², igualando gravitação e força centrípeta obtém-se ω²r³ = GM; com ω = 2π/T isso dá T² ∝ r³. Para a elipse no problema de dois corpos o papel da distância cabe ao semieixo maior a.

As leis de Kepler valem para os satélites da Terra?

Sim, como boa aproximação: a massa central é a Terra, T² = (4π²/GM) a³. É preciso levar em conta perturbações, o achatamento da Terra e o arrasto da atmosfera em órbita baixa; para uma estimativa escolar da terceira lei isso basta.

As órbitas dos planetas são elipses ideais?

Em tempos curtos, quase sim. Os outros planetas deslocam o periélio com lentidão e distorcem um pouco a elipse. Em Mercúrio há ainda a contribuição da relatividade geral — cerca de 43″ por século depois de subtrair as perturbações newtonianas.

Leis de Kepler

Órbitas elípticas e igualdade das áreas varridas (segunda lei).

Sobre o modelo

As leis de Kepler descrevem o movimento dos planetas em torno do Sol no problema de dois corpos. A primeira: a órbita é uma elipse, e o Sol ocupa um dos focos. A segunda (lei das áreas): o raio vetor varre áreas iguais em intervalos iguais de tempo — é a conservação do momento angular. A terceira: os quadrados dos períodos de revolução estão para os cubos dos semieixos maiores, T² ∝ a³, para a mesma massa central. Newton mostrou que tudo isso segue de F = GMm/r². Na página pode-se variar o semieixo maior, a excentricidade e a massa do centro e conferir o período e as velocidades no periélio e no afélio. Não há perturbações de outros planetas nem a precessão relativística do periélio de Mercúrio.

Para quem: Astronomia e mecânica do ensino médio, depois da lei da gravitação universal; ao lado do movimento em órbita e da transferência de Hohmann.

Conceitos-chave

leis de Kepler
órbita elíptica
lei das áreas
semieixo maior
período de revolução
excentricidade
problema de dois corpos
terceira lei de Kepler

Como funciona

Kepler I: as órbitas ligadas são elipses com a massa central num dos focos. Kepler II: o raio vetor varre áreas iguais em tempos iguais — aqui os setores coloridos correspondem a Δt iguais e devem ter quase a mesma área (mostra-se a dispersão numérica). Kepler III: neste modelo de dois corpos T² ∝ a³ com GM constante; varie a e GM e veja T²/a³ seguir a escala inversa de GM.

Fórmulas principais

M = E − e sin E → planeta (a(cos E − e), b sin E)

T = 2π √(a³ / GM), n = 2π / T

dA/dt = L / (2m) = const.

Perguntas frequentes

Por que o planeta é mais rápido no periélio do que no afélio?: Segunda lei de Kepler: no mesmo tempo varre-se a mesma área. Mais perto do Sol o raio vetor é mais curto, então no mesmo intervalo o corpo percorre um arco maior — a velocidade é maior. É o mesmo que a conservação do momento angular num campo central.
Por que a terceira lei liga justamente T² e a³?: Para uma órbita circular no campo ∝ 1/r², igualando gravitação e força centrípeta obtém-se ω²r³ = GM; com ω = 2π/T isso dá T² ∝ r³. Para a elipse no problema de dois corpos o papel da distância cabe ao semieixo maior a.
As leis de Kepler valem para os satélites da Terra?: Sim, como boa aproximação: a massa central é a Terra, T² = (4π²/GM) a³. É preciso levar em conta perturbações, o achatamento da Terra e o arrasto da atmosfera em órbita baixa; para uma estimativa escolar da terceira lei isso basta.
As órbitas dos planetas são elipses ideais?: Em tempos curtos, quase sim. Os outros planetas deslocam o periélio com lentidão e distorcem um pouco a elipse. Em Mercúrio há ainda a contribuição da relatividade geral — cerca de 43″ por século depois de subtrair as perturbações newtonianas.

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