A função de Wigner pode ser negativa aqui?

Para os estados deste modelo, não. Os gaussianos puros (coerentes, comprimidos e deslocados) e as misturas gaussianas térmicas têm W não negativa. A negatividade aparece em estados não gaussianos como Fock |n⟩ com n ≥ 1 ou os gatos de Schrödinger; no quadro gaussiano de um modo eles não entram.

Por que a elipse de compressão gira um ângulo θ/2 e não θ?

O operador de compressão escreve-se S(ξ) com ξ = r e^{iθ}. No plano (x, p) os eixos principais da elipse de incerteza vão a um ângulo θ/2, de modo que girar a fase de compressão em θ gira o eixo longo e o curto pela metade. Um erro frequente é identificar θ com o ângulo da elipse desenhada.

O que significa «compressão abaixo do limite do vácuo»?

No vácuo as variâncias das quadraturas estão no limite de Heisenberg. A compressão baixa o ruído de uma quadratura abaixo desse nível, e a conjugada sofre anticompressão de modo que o produto ainda cumpre o princípio da incerteza. O contorno 1σ vira uma elipse alongada e entra no círculo do vácuo ao longo do eixo comprimido.

Função de Wigner

Quase-probabilidade W(x, p) no espaço de fases para um estado gaussiano de um modo: coerente |α⟩, comprimido e deslocado D(α)S(ξ)|0⟩ e térmico. A elipse 1σ gira a metade da fase de compressão e se estreita abaixo do limite do vácuo numa quadratura.

Sobre o modelo

A função de Wigner W(x, p) é uma quase-probabilidade no espaço de fases para um estado gaussiano de um modo do oscilador harmônico. Há três famílias: coerente |α⟩, vácuo comprimido e deslocado D(α)S(ξ)|0⟩ e térmico. Nos estados gaussianos a própria W é gaussiana: a elipse 1σ gira um ângulo θ/2 (a metade da fase de compressão) e pode se estreitar abaixo do limite do vácuo numa quadratura — o quadro básico da óptica quântica de variáveis contínuas. O modelo é estritamente de um modo e gaussiano: não há não gaussianidade no número de fótons, nem emaranhamento multimodo, nem perdas nem detector não ideal. Mudam a amplitude α, os parâmetros de compressão em ξ = r e^{iθ} e a ocupação térmica: vê-se o deslocamento, o giro e o estiramento da elipse de Wigner em relação ao círculo do vácuo.

Para quem: Últimos períodos da graduação e mestrado: óptica quântica, informação quântica de variáveis contínuas, físico-química de modos oscilatórios.

Conceitos-chave

função de Wigner
estado coerente
estado comprimido
espaço de fases
quase-probabilidade
variáveis contínuas

Como funciona

A função de Wigner W(x, p) de um estado gaussiano de um modo é uma mancha gaussiana não negativa no plano de fases. O coerente |α⟩ dá um círculo deslocado para (⟨x⟩, ⟨p⟩); a compressão S(ξ) com ξ = r e^{iθ} estica a elipse 1σ e a gira um ângulo θ/2; o estado térmico infla a mancha. Na tela, o contorno em relação ao círculo do vácuo; os estados não gaussianos com W negativa não entram no modelo.

Perguntas frequentes

A função de Wigner pode ser negativa aqui?: Para os estados deste modelo, não. Os gaussianos puros (coerentes, comprimidos e deslocados) e as misturas gaussianas térmicas têm W não negativa. A negatividade aparece em estados não gaussianos como Fock |n⟩ com n ≥ 1 ou os gatos de Schrödinger; no quadro gaussiano de um modo eles não entram.
Por que a elipse de compressão gira um ângulo θ/2 e não θ?: O operador de compressão escreve-se S(ξ) com ξ = r e^{iθ}. No plano (x, p) os eixos principais da elipse de incerteza vão a um ângulo θ/2, de modo que girar a fase de compressão em θ gira o eixo longo e o curto pela metade. Um erro frequente é identificar θ com o ângulo da elipse desenhada.
O que significa «compressão abaixo do limite do vácuo»?: No vácuo as variâncias das quadraturas estão no limite de Heisenberg. A compressão baixa o ruído de uma quadratura abaixo desse nível, e a conjugada sofre anticompressão de modo que o produto ainda cumpre o princípio da incerteza. O contorno 1σ vira uma elipse alongada e entra no círculo do vácuo ao longo do eixo comprimido.

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