Pourquoi d’abord l’alignement, puis le déplacement ?

C’est la discrétisation standard du modèle de Vicsek : les voisins sont définis d’après les positions au pas courant, le nouvel angle suit la règle d’alignement, puis la particule avance d’un pas avec cet angle.

Que signifie ici la « transition vers l’essaim » ?

À la limite thermodynamique d’un grand système, quand la densité croît ou le bruit diminue, la polarisation V_a augmente brusquement ; à N fini la courbe est lissée, mais la tendance est la même : plus de voisins dans R et un η plus petit → V_a plus grand.

À quoi sert le tore ?

Les conditions périodiques ôtent les parois et gardent une densité homogène — comme dans les mises en œuvre numériques classiques du modèle de Vicsek.

Modèle de Vicsek (matière active)

Particules automotrices sur un tore : alignement de la direction sur la moyenne des voisins dans le rayon R, bruit η, dérive à la vitesse v₀ ; polarisation V_a = |⟨e^{iθ}⟩| et densité ρ = N/L².

À propos du modèle

Le modèle de Vicsek est une matière active minimale : des particules automotrices sur un tore alignent leur angle de direction sur la direction moyenne de tous les voisins dans un disque de rayon R, ajoutent un bruit uniforme ξ ∈ [−η, η] et se déplacent à la vitesse v₀. La polarisation V_a = |N⁻¹ Σ_i e^{iθ_i}| mesure l’alignement global des directions ; à aire fixée, ρ ∝ N. Sur la page : mise à jour discrète, tore carré, flèche dorée V_a et graphe V_a(t) ; les curseurs η, R, v₀, N fixent un croisement qui rappelle la transition vers l’essaim (à N fini, il est étalé). Les conditions périodiques ôtent les parois et gardent la densité homogène.

Public : Physique statistique des systèmes complexes (licence) : matière active et comportement collectif.

Notions clés

modèle de Vicsek
matière active
essaim
paramètre d’ordre
bruit d’alignement
tore

Comment ça marche

Modèle de Vicsek sur tore carré : à chaque pas, chaque particule prend la direction Arg(Σ_{|r_ij|<R} e^{iθ_j}) plus un bruit uniforme ξ ∈ [−η, η], puis r_i ← r_i + v₀ e^{iθ_i} Δt avec conditions périodiques. Curseurs η, R, v₀, N (densité ρ = N/L² à aire fixée) ; flèche dorée — polarisation V_a = |⟨e^{iθ}⟩|, à droite V_a(t).

Formules

θ_i(t+Δ) = Arg(Σ_{|r_ij|<R} e^{iθ_j}) + ξ_i with ξ_i ~ Uniform(−η, η), then r_i ← r_i + v₀ e^{iθ_i} Δ with periodic boundaries. Polarization V_a = |N⁻¹ Σ_i e^{iθ_i}|.

Questions fréquentes

Pourquoi d’abord l’alignement, puis le déplacement ?: C’est la discrétisation standard du modèle de Vicsek : les voisins sont définis d’après les positions au pas courant, le nouvel angle suit la règle d’alignement, puis la particule avance d’un pas avec cet angle.
Que signifie ici la « transition vers l’essaim » ?: À la limite thermodynamique d’un grand système, quand la densité croît ou le bruit diminue, la polarisation V_a augmente brusquement ; à N fini la courbe est lissée, mais la tendance est la même : plus de voisins dans R et un η plus petit → V_a plus grand.
À quoi sert le tore ?: Les conditions périodiques ôtent les parois et gardent une densité homogène — comme dans les mises en œuvre numériques classiques du modèle de Vicsek.

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