¿Por qué primero se alinea y después se avanza?

Es la discretización estándar del modelo de Vicsek: los vecinos se definen por las posiciones del paso actual, el ángulo nuevo lo da la regla de alineación y luego la partícula se mueve con ese ángulo un paso.

¿Qué significa aquí la «transición a bandada»?

En el límite termodinámico de un sistema grande, al subir la densidad o bajar el ruido la polarización V_a crece de golpe; a N finito la curva se suaviza, pero la tendencia es la misma: más vecinos en R y menos η → mayor V_a.

Las fronteras periódicas quitan las paredes y conservan una densidad homogénea — como en las configuraciones numéricas clásicas del modelo de Vicsek.

Modelo de Vicsek (materia activa)

Partículas autopropulsadas en un toro: alinean la dirección con el promedio de los vecinos en un radio R, ruido η, deriva a velocidad v₀; polarización V_a = |⟨e^{iθ}⟩| y densidad ρ = N/L².

Sobre el modelo

El modelo de Vicsek es materia activa mínima: partículas autopropulsadas en un toro alinean su ángulo de rumbo con la dirección media de todos los vecinos en un círculo de radio R, suman un ruido uniforme ξ ∈ [−η, η] y se desplazan a velocidad v₀. La polarización V_a = |N⁻¹ Σ_i e^{iθ_i}| mide el acuerdo global de las «cabezas»; a área fija, ρ ∝ N. En la página hay actualización discreta, toro cuadrado, flecha dorada V_a y gráfica V_a(t); los controles η, R, v₀, N marcan un cruce que recuerda la transición a bandada (a N finito queda suavizado). Las fronteras periódicas quitan las paredes y mantienen la densidad homogénea.

Para quién: Física estadística de sistemas complejos de facultad: materia activa y comportamiento colectivo.

Conceptos clave

modelo de Vicsek
materia activa
bandada
parámetro de orden
ruido de alineación
toro

Cómo funciona

Modelo de Vicsek en un toro cuadrado: en cada paso cada partícula toma la dirección Arg(Σ_{|r_ij|<R} e^{iθ_j}) más un ruido uniforme ξ ∈ [−η, η], luego r_i ← r_i + v₀ e^{iθ_i} Δt con fronteras periódicas. Controles η, R, v₀, N (densidad ρ = N/L² a área fija); la flecha dorada es la polarización V_a = |⟨e^{iθ}⟩|, a la derecha V_a(t).

Fórmulas principales

θ_i(t+Δ) = Arg(Σ_{|r_ij|<R} e^{iθ_j}) + ξ_i with ξ_i ~ Uniform(−η, η), then r_i ← r_i + v₀ e^{iθ_i} Δ with periodic boundaries. Polarization V_a = |N⁻¹ Σ_i e^{iθ_i}|.

Preguntas frecuentes

¿Por qué primero se alinea y después se avanza?: Es la discretización estándar del modelo de Vicsek: los vecinos se definen por las posiciones del paso actual, el ángulo nuevo lo da la regla de alineación y luego la partícula se mueve con ese ángulo un paso.
¿Qué significa aquí la «transición a bandada»?: En el límite termodinámico de un sistema grande, al subir la densidad o bajar el ruido la polarización V_a crece de golpe; a N finito la curva se suaviza, pero la tendencia es la misma: más vecinos en R y menos η → mayor V_a.
¿Para qué el toro?: Las fronteras periódicas quitan las paredes y conservan una densidad homogénea — como en las configuraciones numéricas clásicas del modelo de Vicsek.

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