Warum zuerst ausrichten, dann verschieben?

Das ist die übliche Diskretisierung des Vicsek-Modells: die Nachbarn werden aus den Lagen des aktuellen Schritts bestimmt, der neue Winkel folgt der Ausrichtungsregel, danach bewegt sich das Teilchen mit diesem Winkel einen Schritt.

Was bedeutet hier „Übergang zum Schwarm“?

Im thermodynamischen Limes eines großen Systems wächst die Polarisation V_a bei steigender Dichte oder sinkendem Rauschen scharf; bei endlichem N ist die Kurve geglättet, die Tendenz bleibt: mehr Nachbarn in R und kleineres η → größeres V_a.

Periodische Ränder nehmen Wände weg und halten die Dichte homogen — wie in den klassischen numerischen Ansätzen des Vicsek-Modells.

Vicsek-Modell (aktive Materie)

Selbstangetriebene Teilchen auf dem Torus: Ausrichtung der Richtung am Mittel der Nachbarn im Radius R, Rauschen η, Fortbewegung mit Geschwindigkeit v₀; Polarisation V_a = |⟨e^{iθ}⟩| und Dichte ρ = N/L².

Zum Modell

Das Vicsek-Modell ist minimale aktive Materie: selbstangetriebene Teilchen auf dem Torus richten ihren Richtungswinkel am mittleren Richtungswinkel aller Nachbarn im Kreis vom Radius R aus, addieren gleichverteiltes Rauschen ξ ∈ [−η, η] und rücken mit der Geschwindigkeit v₀ vor. Die Polarisation V_a = |N⁻¹ Σ_i e^{iθ_i}| misst die globale Übereinstimmung der „Köpfe“; bei fester Fläche gilt ρ ∝ N. Diskrete Aktualisierung, quadratischer Torus, goldener Pfeil V_a und Graph V_a(t); die Schieberegler η, R, v₀, N setzen den Übergang, der an die Schwarmbildung erinnert (bei endlichem N ist er verschliffen). Periodische Ränder nehmen Wände weg und halten die Dichte homogen.

Für wen: Statphysik komplexer Systeme im Studium: aktive Materie und kollektives Verhalten.

Wichtige Begriffe

Vicsek-Modell
aktive Materie
Schwarm
Ordnungsparameter
Ausrichtungsrauschen
Torus

So funktioniert es

Vicsek-Modell auf dem quadratischen Torus: pro Schritt nimmt jedes Teilchen die Richtung Arg(Σ_{|r_ij|<R} e^{iθ_j}) plus gleichverteiltes Rauschen ξ ∈ [−η, η], danach r_i ← r_i + v₀ e^{iθ_i} Δt mit periodischen Rändern. Schieberegler η, R, v₀, N (Dichte ρ = N/L² bei fester Fläche); goldener Pfeil — Polarisation V_a = |⟨e^{iθ}⟩|, rechts V_a(t).

Wichtige Gleichungen

θ_i(t+Δ) = Arg(Σ_{|r_ij|<R} e^{iθ_j}) + ξ_i with ξ_i ~ Uniform(−η, η), then r_i ← r_i + v₀ e^{iθ_i} Δ with periodic boundaries. Polarization V_a = |N⁻¹ Σ_i e^{iθ_i}|.

Häufige Fragen

Warum zuerst ausrichten, dann verschieben?: Das ist die übliche Diskretisierung des Vicsek-Modells: die Nachbarn werden aus den Lagen des aktuellen Schritts bestimmt, der neue Winkel folgt der Ausrichtungsregel, danach bewegt sich das Teilchen mit diesem Winkel einen Schritt.
Was bedeutet hier „Übergang zum Schwarm“?: Im thermodynamischen Limes eines großen Systems wächst die Polarisation V_a bei steigender Dichte oder sinkendem Rauschen scharf; bei endlichem N ist die Kurve geglättet, die Tendenz bleibt: mehr Nachbarn in R und kleineres η → größeres V_a.
Wozu der Torus?: Periodische Ränder nehmen Wände weg und halten die Dichte homogen — wie in den klassischen numerischen Ansätzen des Vicsek-Modells.

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