Por que primeiro o alinhamento e só depois o deslocamento?

É a discretização padrão do modelo de Vicsek: os vizinhos vêm das posições do passo atual, o ângulo novo sai da regra de alinhamento e então a partícula anda com esse ângulo um passo.

O que significa aqui a «transição a bando»?

No limite termodinâmico de um sistema grande, ao subir a densidade ou baixar o ruído a polarização V_a cresce de golpe; em N finito a curva se suaviza, mas a tendência é a mesma: mais vizinhos em R e menos η → maior V_a.

As condições de contorno periódicas tiram as paredes e conservam densidade homogênea — como nas montagens numéricas clássicas do modelo de Vicsek.

Modelo de Vicsek

Partículas autopropulsoras num toro: alinham a direção com a média dos vizinhos no raio R, ruído η, deslocamento com velocidade v₀; polarização V_a = |⟨e^{iθ}⟩| e densidade ρ = N/L².

Sobre o modelo

O modelo de Vicsek é matéria ativa mínima: partículas autopropulsoras num toro alinham o ângulo de direção com a direção média de todos os vizinhos num círculo de raio R, somam um ruído uniforme ξ ∈ [−η, η] e avançam com velocidade v₀. A polarização V_a = |N⁻¹ Σ_i e^{iθ_i}| mede o acordo global das «cabeças»; a área fixa implica ρ ∝ N. Há atualização discreta, toro quadrado, seta dourada V_a e gráfico V_a(t); os controles η, R, v₀, N marcam um cruzamento que lembra a transição a bando (em N finito o salto fica suavizado). As condições de contorno periódicas tiram as paredes e mantêm a densidade homogênea.

Para quem: Física estatística de sistemas complexos na graduação: matéria ativa e comportamento coletivo.

Conceitos-chave

modelo de Vicsek
matéria ativa
bando
parâmetro de ordem
ruído de alinhamento
toro

Como funciona

Modelo de Vicsek num toro quadrado: a cada passo cada partícula toma a direção Arg(Σ_{|r_ij|<R} e^{iθ_j}) mais um ruído uniforme ξ ∈ [−η, η], depois r_i ← r_i + v₀ e^{iθ_i} Δt com condições de contorno periódicas. Controles η, R, v₀, N (densidade ρ = N/L² a área fixa); a seta dourada é a polarização V_a = |⟨e^{iθ}⟩|, à direita V_a(t).

Fórmulas principais

θ_i(t+Δ) = Arg(Σ_{|r_ij|<R} e^{iθ_j}) + ξ_i with ξ_i ~ Uniform(−η, η), then r_i ← r_i + v₀ e^{iθ_i} Δ with periodic boundaries. Polarization V_a = |N⁻¹ Σ_i e^{iθ_i}|.

Perguntas frequentes

Por que primeiro o alinhamento e só depois o deslocamento?: É a discretização padrão do modelo de Vicsek: os vizinhos vêm das posições do passo atual, o ângulo novo sai da regra de alinhamento e então a partícula anda com esse ângulo um passo.
O que significa aqui a «transição a bando»?: No limite termodinâmico de um sistema grande, ao subir a densidade ou baixar o ruído a polarização V_a cresce de golpe; em N finito a curva se suaviza, mas a tendência é a mesma: mais vizinhos em R e menos η → maior V_a.
Para que o toro?: As condições de contorno periódicas tiram as paredes e conservam densidade homogênea — como nas montagens numéricas clássicas do modelo de Vicsek.

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