D’où vient sin θ = (2/3) sin θ₀ ?

Pour une tige homogène relâchée du repos, paroi et sol lisses, cela se déduit des lois de conservation et de la condition d’annulation de la réaction normale de la paroi.

Que change le frottement ?

L’équation du mouvement et l’instant de décollement deviennent autres. Ici les deux contacts sont sans frottement.

Sliding ladder

Paroi et sol lisses : θ̈ = −(3g/2L) cos θ ; relâchée du repos, la réaction de la paroi s’annule lorsque sin θ = (2/3) sin θ₀.

À propos du modèle

Une échelle homogène s’appuie sur une paroi lisse et un sol lisse. Si θ se compte depuis l’horizontale, le lagrangien donne θ̈ = −(3g/2L) cos θ tant que les deux contacts sont actifs. Relâchée du repos, la réaction horizontale de la paroi s’annule lorsque sin θ = (2/3) sin θ₀, où θ₀ est l’angle initial ; ce n’est pas une constante universelle indépendante de θ₀. Après la perte de contact avec la paroi, le mouvement est plus complexe ; on fige la configuration à l’angle critique, comme borne pédagogique.

Public : Cours de mécanique : réactions de liaison, problème de l’échelle qui glisse.

Notions clés

échelle qui glisse
réaction de liaison
lagrangien
réaction de la paroi
angle critique

Comment ça marche

Tant que la paroi pousse, l’angle d’une échelle homogène à l’horizontale vérifie θ̈ = −(3g/2L) cos θ. Au départ du repos, la réaction de la paroi s’annule lorsque sin θ = (2/3) sin θ₀. Ensuite le mouvement réel est plus complexe ; on marque cet angle comme borne pédagogique.

Questions fréquentes

D’où vient sin θ = (2/3) sin θ₀ ?: Pour une tige homogène relâchée du repos, paroi et sol lisses, cela se déduit des lois de conservation et de la condition d’annulation de la réaction normale de la paroi.
Que change le frottement ?: L’équation du mouvement et l’instant de décollement deviennent autres. Ici les deux contacts sont sans frottement.

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