¿Por qué se marcan puntos solo cuando sin θ₂ = 0 y ω₂ > 0?

Así se fija la misma superficie de sección en el espacio de fases de cuatro dimensiones. La condición ω₂ > 0 toma el paso por la vertical de abajo en un solo sentido, sin duplicar el vaivén contrario. El movimiento continuo se convierte en un mapa de Poincaré.

¿Por qué a veces hay curvas y a veces una nube dispersa?

Las curvas y las cadenas de islas son movimiento cuasiperiódico regular. La nube (a menudo con estructura fractal fina) es caos: la trayectoria es aperiódica y exponencialmente sensible a las condiciones iniciales, así que llena de forma densa una región de la sección.

¿Es una propiedad de las ecuaciones o un artefacto numérico?

La sección de Poincaré es el recurso habitual en sistemas dinámicos. RK4 da un error de paso pequeño, pero el cuadro cualitativo (curvas frente a nube caótica) pertenece a las propias ecuaciones del péndulo doble.

¿Qué simplificaciones tiene este modelo?

Varillas sin peso, masas puntuales, sin fricción en las articulaciones ni resistencia del aire. El sistema es conservativo. En un péndulo real el amortiguamiento arrastra las trayectorias hacia un atractor: en esta sección eso no aparece.

Sección de Poincaré del péndulo doble

Puntos (θ₁, ω₁) cuando la segunda varilla pasa por la vertical de abajo con ω₂ > 0. El integrador es Runge–Kutta de cuarto orden.

Sobre el modelo

Péndulo doble: dos varillas, articulaciones sin fricción, gravedad. El estado es (θ₁, θ₂, ω₁, ω₂). La sección de Poincaré deja los puntos (θ₁, ω₁) en los instantes en que sin θ₂ = 0 y ω₂ > 0: el segundo péndulo pasa por el punto más bajo en un solo sentido. El flujo continuo en el espacio de fases de cuatro dimensiones se vuelve un mapa discreto. El movimiento cuasiperiódico da curvas y cadenas de islas; el caos, una nube de puntos con estructura fina. Las ecuaciones salen del lagrangiano; el paso es el método de Runge–Kutta de cuarto orden. Las varillas no tienen peso, las masas son puntuales, no hay amortiguamiento: el sistema es conservativo.

Para quién: Mecánica teórica de facultad: espacio de fases, oscilaciones no lineales, caos determinista.

Conceptos clave

sección de Poincaré
péndulo doble
espacio de fases
caos determinista
movimiento cuasiperiódico
lagrangiano
método de Runge–Kutta

Cómo funciona

Las ecuaciones del péndulo doble se integran con RK4. En el plano (θ₁, ω₁) se pone un punto cuando el segundo ángulo cruza la vertical inferior hacia arriba (ω₂ > 0). Las trayectorias regulares caen en curvas; las condiciones iniciales típicas llenan una nube: la sección del caos hamiltoniano. No hay fricción.

Preguntas frecuentes

¿Por qué se marcan puntos solo cuando sin θ₂ = 0 y ω₂ > 0?: Así se fija la misma superficie de sección en el espacio de fases de cuatro dimensiones. La condición ω₂ > 0 toma el paso por la vertical de abajo en un solo sentido, sin duplicar el vaivén contrario. El movimiento continuo se convierte en un mapa de Poincaré.
¿Por qué a veces hay curvas y a veces una nube dispersa?: Las curvas y las cadenas de islas son movimiento cuasiperiódico regular. La nube (a menudo con estructura fractal fina) es caos: la trayectoria es aperiódica y exponencialmente sensible a las condiciones iniciales, así que llena de forma densa una región de la sección.
¿Es una propiedad de las ecuaciones o un artefacto numérico?: La sección de Poincaré es el recurso habitual en sistemas dinámicos. RK4 da un error de paso pequeño, pero el cuadro cualitativo (curvas frente a nube caótica) pertenece a las propias ecuaciones del péndulo doble.
¿Qué simplificaciones tiene este modelo?: Varillas sin peso, masas puntuales, sin fricción en las articulaciones ni resistencia del aire. El sistema es conservativo. En un péndulo real el amortiguamiento arrastra las trayectorias hacia un atractor: en esta sección eso no aparece.

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