Si le fluide tourne en cercle, pourquoi dit-on l’écoulement irrotationnel ?

Irrotationnel signifie que l’élément local ne tourne pas autour de son propre axe : ω = ∇ × v = 0. Les particules font le tour de l’axe sur des cercles, mais elles-mêmes ne tournent pas comme un solide. Ce tour global, c’est la circulation, pas la rotation de chaque goutte. Pour une rotation de solide, au contraire, ω ≠ 0 partout.

Qu’est-ce que la circulation Γ et se conserve-t-elle ?

La circulation Γ = ∮ v·dl est l’intégrale de la vitesse le long d’un contour fermé. Pour ce tourbillon, tout contour autour de l’axe donne le même Γ ; un contour qui n’entoure pas l’axe donne zéro. Dans un fluide parfait barotrope, la circulation le long d’un contour matériel se conserve (Kelvin). Ici Γ est l’intensité imposée du tourbillon.

Pourquoi la vitesse est-elle infinie en r = 0 ? Cela existe-t-il dans la nature ?

C’est une singularité du modèle idéal : tout le tourbillon est concentré sur une ligne. Un tourbillon réel a un noyau visqueux de rayon fini (tourbillon de Rankine : à l’intérieur, rotation de solide ; à l’extérieur, v_θ ∝ 1/r), et la vitesse est finie.

Où ce schéma se rapproche-t-il d’un écoulement réel ?

Loin du noyau d’une tornade ou du tourbillon d’une baignoire ; tourbillons d’extrémité d’aile hors du noyau ; tourbillons lié et libre dans la théorie de l’aile. La viscosité et le caractère tridimensionnel gâtent toujours le dessin près de l’axe.

Tourbillon idéal

Champ de vitesses v_θ = Γ/(2πr) : la circulation est constante, l’écoulement est irrotationnel partout sauf sur l’axe.

À propos du modèle

Le tourbillon idéal (potentiel) est un écoulement plan incompressible avec une singularité sur l’axe. La vitesse est purement azimutale : v_θ = Γ/(2πr), v_r = 0. La circulation Γ = ∮ v·dl est la même sur tout contour qui entoure l’axe. Le rotationnel de la vitesse ∇ × v = 0 partout sauf en r = 0, où toute la vorticité est concentrée. Le potentiel des vitesses est φ = Γθ/(2π) ; les lignes de courant sont des cercles. Pas de viscosité ni de noyau : lorsque r → 0, la vitesse est formellement infinie. D’après Bernoulli, la pression baisse vers l’axe — d’où l’entonnoir dans un évier et le rôle des tourbillons d’extrémité d’aile.

Public : Hydrodynamique de licence : écoulement potentiel, circulation, théorème de Kelvin.

Notions clés

tourbillon idéal
circulation
écoulement potentiel
écoulement irrotationnel
vorticité
fonction de courant
singularité

Comment ça marche

À l’écran, le champ v_θ = Γ/(2πr) et des traceurs sur des cercles. La circulation sur tout contour autour de l’axe vaut Γ. Un tourbillon réel a un noyau visqueux ; ici, c’est le tourbillon potentiel de cours. Avec l’équation de Bernoulli, on voit la baisse de pression vers l’axe.

Questions fréquentes

Si le fluide tourne en cercle, pourquoi dit-on l’écoulement irrotationnel ?: Irrotationnel signifie que l’élément local ne tourne pas autour de son propre axe : ω = ∇ × v = 0. Les particules font le tour de l’axe sur des cercles, mais elles-mêmes ne tournent pas comme un solide. Ce tour global, c’est la circulation, pas la rotation de chaque goutte. Pour une rotation de solide, au contraire, ω ≠ 0 partout.
Qu’est-ce que la circulation Γ et se conserve-t-elle ?: La circulation Γ = ∮ v·dl est l’intégrale de la vitesse le long d’un contour fermé. Pour ce tourbillon, tout contour autour de l’axe donne le même Γ ; un contour qui n’entoure pas l’axe donne zéro. Dans un fluide parfait barotrope, la circulation le long d’un contour matériel se conserve (Kelvin). Ici Γ est l’intensité imposée du tourbillon.
Pourquoi la vitesse est-elle infinie en r = 0 ? Cela existe-t-il dans la nature ?: C’est une singularité du modèle idéal : tout le tourbillon est concentré sur une ligne. Un tourbillon réel a un noyau visqueux de rayon fini (tourbillon de Rankine : à l’intérieur, rotation de solide ; à l’extérieur, v_θ ∝ 1/r), et la vitesse est finie.
Où ce schéma se rapproche-t-il d’un écoulement réel ?: Loin du noyau d’une tornade ou du tourbillon d’une baignoire ; tourbillons d’extrémité d’aile hors du noyau ; tourbillons lié et libre dans la théorie de l’aile. La viscosité et le caractère tridimensionnel gâtent toujours le dessin près de l’axe.

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