Si el fluido da vueltas, ¿por qué se llama irrotacional al flujo?

Irrotacional significa que el elemento local no gira en torno a su propio eje: ω = ∇ × v = 0. Las partículas rodean el eje en circunferencias, pero ellas mismas no rotan como un cuerpo rígido. Ese rodeo global es circulación, no el giro de cada gota. En la rotación como sólido rígido, al contrario, ω ≠ 0 en todas partes.

¿Qué es la circulación Γ y se conserva?

La circulación Γ = ∮ v·dl es la integral de la velocidad a lo largo de un contorno cerrado. En este vórtice cualquier contorno alrededor del eje da el mismo Γ; uno que no rodee el eje da cero. En un fluido ideal barotrópico la circulación a lo largo de un contorno material se conserva (Thomson). Aquí Γ es la intensidad impuesta del vórtice.

¿Por qué la velocidad es infinita en r = 0? ¿Pasa eso en la naturaleza?

Es una singularidad del modelo ideal: todo el vórtice está concentrado en una línea. Un vórtice real tiene un núcleo viscoso de radio finito (vórtice de Rankine: adentro, rotación como sólido rígido; afuera, v_θ ∝ 1/r) y la velocidad es finita.

¿Dónde se parece este esquema a un flujo real?

Lejos del núcleo de un tornado o del remolino de la tina; vórtices de punta de ala fuera del núcleo; vórtices adherido y libre en la teoría del ala. La viscosidad y el carácter tridimensional siempre echan a perder el dibujo cerca del eje.

Vórtice ideal

Campo de velocidades v_θ = Γ/(2πr): la circulación es constante; el flujo es irrotacional en todas partes salvo en el eje.

Sobre el modelo

El vórtice ideal (potencial) es un flujo plano incompresible con una singularidad en el eje. La velocidad es puramente azimutal: v_θ = Γ/(2πr), v_r = 0. La circulación Γ = ∮ v·dl es la misma en cualquier contorno que rodee el eje. El rotacional de la velocidad ∇ × v = 0 en todas partes excepto en r = 0, donde se concentra toda la vorticidad. El potencial de velocidad es φ = Γθ/(2π); las líneas de corriente son circunferencias. No hay viscosidad ni núcleo: cuando r → 0 la velocidad es, formalmente, infinita. Por Bernoulli la presión baja hacia el eje: de ahí el embudo en el desagüe y el papel de los vórtices de punta de ala.

Para quién: Hidrodinámica de facultad: flujo potencial, circulación, teorema de Thomson.

Conceptos clave

vórtice ideal
circulación
flujo potencial
flujo irrotacional
vorticidad
función de corriente
singularidad

Cómo funciona

En pantalla está el campo v_θ = Γ/(2πr) y trazadores en circunferencias. La circulación a lo largo de cualquier contorno alrededor del eje vale Γ. Un vórtice real tiene núcleo viscoso; aquí es el vórtice potencial de libro. Junto con la ecuación de Bernoulli se ve cómo baja la presión hacia el eje.

Preguntas frecuentes

Si el fluido da vueltas, ¿por qué se llama irrotacional al flujo?: Irrotacional significa que el elemento local no gira en torno a su propio eje: ω = ∇ × v = 0. Las partículas rodean el eje en circunferencias, pero ellas mismas no rotan como un cuerpo rígido. Ese rodeo global es circulación, no el giro de cada gota. En la rotación como sólido rígido, al contrario, ω ≠ 0 en todas partes.
¿Qué es la circulación Γ y se conserva?: La circulación Γ = ∮ v·dl es la integral de la velocidad a lo largo de un contorno cerrado. En este vórtice cualquier contorno alrededor del eje da el mismo Γ; uno que no rodee el eje da cero. En un fluido ideal barotrópico la circulación a lo largo de un contorno material se conserva (Thomson). Aquí Γ es la intensidad impuesta del vórtice.
¿Por qué la velocidad es infinita en r = 0? ¿Pasa eso en la naturaleza?: Es una singularidad del modelo ideal: todo el vórtice está concentrado en una línea. Un vórtice real tiene un núcleo viscoso de radio finito (vórtice de Rankine: adentro, rotación como sólido rígido; afuera, v_θ ∝ 1/r) y la velocidad es finita.
¿Dónde se parece este esquema a un flujo real?: Lejos del núcleo de un tornado o del remolino de la tina; vórtices de punta de ala fuera del núcleo; vórtices adherido y libre en la teoría del ala. La viscosidad y el carácter tridimensional siempre echan a perder el dibujo cerca del eje.

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