Se o fluido gira em círculo, por que o escoamento se chama irrotacional?

Irrotacional quer dizer que o elemento local não gira em torno do próprio eixo: ω = ∇ × v = 0. As partículas contornam o eixo em circunferências, mas elas mesmas não giram como um corpo rígido. O rodeio global é circulação, não rotação de cada gota. Na rotação como corpo rígido, ao contrário, ω ≠ 0 em toda parte.

O que é a circulação Γ e ela se conserva?

A circulação Γ = ∮ v·dl é a integral da velocidade num contorno fechado. Neste vórtice qualquer contorno em torno do eixo dá o mesmo Γ; um contorno sem o eixo, zero. Num fluido ideal barotrópico a circulação num contorno material se conserva (Thomson). Aqui Γ é a intensidade prescrita do vórtice.

Por que a velocidade é infinita em r = 0? Isso existe na natureza?

É a singularidade do modelo ideal: todo o vórtice está concentrado numa linha. Num vórtice real há um núcleo viscoso de raio finito (vórtice de Rankine: dentro, rotação como corpo rígido; fora, v_θ ∝ 1/r) e a velocidade é finita.

Onde esse esquema se aproxima de um escoamento real?

Longe do núcleo de um tornado ou do redemoinho no ralo; vórtices de ponta de asa fora do núcleo; vórtices ligado e livre na teoria da asa. A viscosidade e a tridimensionalidade sempre estragam o quadro perto do eixo.

Vórtice ideal

Campo de velocidades v_θ = Γ/(2πr): circulação constante, escoamento irrotacional em toda parte, menos no eixo.

Sobre o modelo

O vórtice ideal (potencial) é um escoamento plano incompressível com singularidade no eixo. A velocidade é puramente azimutal: v_θ = Γ/(2πr), v_r = 0. A circulação Γ = ∮ v·dl é a mesma em qualquer contorno que envolva o eixo. O rotacional ∇ × v = 0 em toda parte, menos em r = 0, onde se concentra toda a vorticidade. O potencial de velocidade é φ = Γθ/(2π); as linhas de corrente são circunferências. Não há viscosidade nem núcleo: quando r → 0 a velocidade é formalmente infinita. Por Bernoulli a pressão cai em direção ao eixo — daí o funil no ralo e o papel dos vórtices de ponta de asa.

Para quem: Hidrodinâmica da graduação: escoamento potencial, circulação, teorema de Thomson.

Conceitos-chave

vórtice ideal
circulação
escoamento potencial
escoamento irrotacional
vorticidade
função de corrente
singularidade

Como funciona

Na tela, o campo v_θ = Γ/(2πr) e traçadores em circunferências. A circulação em qualquer contorno em torno do eixo vale Γ. Um vórtice real tem núcleo viscoso; aqui é o vórtice potencial de livro. Com a equação de Bernoulli vê-se a queda de pressão em direção ao eixo.

Perguntas frequentes

Se o fluido gira em círculo, por que o escoamento se chama irrotacional?: Irrotacional quer dizer que o elemento local não gira em torno do próprio eixo: ω = ∇ × v = 0. As partículas contornam o eixo em circunferências, mas elas mesmas não giram como um corpo rígido. O rodeio global é circulação, não rotação de cada gota. Na rotação como corpo rígido, ao contrário, ω ≠ 0 em toda parte.
O que é a circulação Γ e ela se conserva?: A circulação Γ = ∮ v·dl é a integral da velocidade num contorno fechado. Neste vórtice qualquer contorno em torno do eixo dá o mesmo Γ; um contorno sem o eixo, zero. Num fluido ideal barotrópico a circulação num contorno material se conserva (Thomson). Aqui Γ é a intensidade prescrita do vórtice.
Por que a velocidade é infinita em r = 0? Isso existe na natureza?: É a singularidade do modelo ideal: todo o vórtice está concentrado numa linha. Num vórtice real há um núcleo viscoso de raio finito (vórtice de Rankine: dentro, rotação como corpo rígido; fora, v_θ ∝ 1/r) e a velocidade é finita.
Onde esse esquema se aproxima de um escoamento real?: Longe do núcleo de um tornado ou do redemoinho no ralo; vórtices de ponta de asa fora do núcleo; vórtices ligado e livre na teoria da asa. A viscosidade e a tridimensionalidade sempre estragam o quadro perto do eixo.

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