Wenn die Flüssigkeit im Kreis läuft, warum heißt die Strömung dann wirbelfrei?

Wirbelfrei heißt, dass das lokale Element sich nicht um die eigene Achse dreht: ω = ∇ × v = 0. Die Teilchen umlaufen die Achse auf Kreisen, drehen sich aber nicht wie ein starrer Körper. Der globale Umlauf ist Zirkulation, nicht die Drehung jedes Tropfens. Bei starrer Rotation gilt umgekehrt ω ≠ 0 überall.

Was ist die Zirkulation Γ, und bleibt sie erhalten?

Die Zirkulation Γ = ∮ v·dl ist das Integral der Geschwindigkeit längs eines geschlossenen Weges. Bei diesem Wirbel liefert jeder Weg um die Achse dasselbe Γ, ein Weg ohne Achse null. In einer idealen barotropen Flüssigkeit bleibt die Zirkulation längs eines materiellen Weges erhalten (Thomson). Hier ist Γ die vorgegebene Intensität des Wirbels.

Warum wird die Geschwindigkeit bei r = 0 unendlich? Kotmt das in der Natur vor?

Das ist die Singularität des Idealmodells: der ganze Wirbel sitzt auf einer Linie. Ein realer Wirbel hat einen zähen Kern endlichen Radius (Rankine-Wirbel: innen starre Rotation, außen v_θ ∝ 1/r), die Geschwindigkeit bleibt endlich.

Wo kommt dieses Bild einem realen Strömungsfeld nahe?

Weit vom Kern eines Wirbelsturms oder des Badewannenwirbels; Randwirbel am Tragflügel außerhalb des Kerns; gebundener und freier Wirbel in der Tragflügeltheorie. Zähigkeit und Dreidimensionalität verderben das Bild stets nahe der Achse.

Idealer Wirbel

Geschwindigkeitsfeld v_θ = Γ/(2πr): die Zirkulation ist konstant, die Strömung überall wirbelfrei außer auf der Achse.

Zum Modell

Ein idealer Wirbel (Potentialwirbel) ist eine ebene, inkotpressible Strömung mit einer Singularität auf der Achse. Die Geschwindigkeit ist rein azimutal: v_θ = Γ/(2πr), v_r = 0. Die Zirkulation Γ = ∮ v·dl ist für jeden die Achse umfassenden Weg dieselbe. Die Wirbelstärke ∇ × v = 0 überall außer bei r = 0, wo die gesamte Rotation sitzt. Das Geschwindigkeitspotenzial ist φ = Γθ/(2π), die Stromlinien sind Kreise. Zähigkeit und Kern fehlen: für r → 0 wird die Geschwindigkeit formal unendlich. Nach Bernoulli fällt der Druck zur Achse — daher der Trichter im Abfluss und die Rolle der Randwirbel am Tragflügel.

Für wen: Hydrodynamik im Studium: Potentialströmung, Zirkulation, Satz von Thomson.

Wichtige Begriffe

idealer wirbel
zirkulation
potentialströmung
wirbelfreie strömung
wirbelstärke
stromfunktion
singularität

So funktioniert es

Auf dem Bildschirm das Feld v_θ = Γ/(2πr) und Markierungsteilchen auf Kreisen. Die Zirkulation um jeden die Achse umfassenden Weg ist Γ. Ein realer Wirbel hat einen zähen Kern; hier der schulische Potentialwirbel. Zusammen mit der Bernoulli-Gleichung sieht man den Druckabfall zur Achse.

Häufige Fragen

Wenn die Flüssigkeit im Kreis läuft, warum heißt die Strömung dann wirbelfrei?: Wirbelfrei heißt, dass das lokale Element sich nicht um die eigene Achse dreht: ω = ∇ × v = 0. Die Teilchen umlaufen die Achse auf Kreisen, drehen sich aber nicht wie ein starrer Körper. Der globale Umlauf ist Zirkulation, nicht die Drehung jedes Tropfens. Bei starrer Rotation gilt umgekehrt ω ≠ 0 überall.
Was ist die Zirkulation Γ, und bleibt sie erhalten?: Die Zirkulation Γ = ∮ v·dl ist das Integral der Geschwindigkeit längs eines geschlossenen Weges. Bei diesem Wirbel liefert jeder Weg um die Achse dasselbe Γ, ein Weg ohne Achse null. In einer idealen barotropen Flüssigkeit bleibt die Zirkulation längs eines materiellen Weges erhalten (Thomson). Hier ist Γ die vorgegebene Intensität des Wirbels.
Warum wird die Geschwindigkeit bei r = 0 unendlich? Kotmt das in der Natur vor?: Das ist die Singularität des Idealmodells: der ganze Wirbel sitzt auf einer Linie. Ein realer Wirbel hat einen zähen Kern endlichen Radius (Rankine-Wirbel: innen starre Rotation, außen v_θ ∝ 1/r), die Geschwindigkeit bleibt endlich.
Wo kommt dieses Bild einem realen Strömungsfeld nahe?: Weit vom Kern eines Wirbelsturms oder des Badewannenwirbels; Randwirbel am Tragflügel außerhalb des Kerns; gebundener und freier Wirbel in der Tragflügeltheorie. Zähigkeit und Dreidimensionalität verderben das Bild stets nahe der Achse.

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