¿Por qué dos masas tienen exactamente dos modos normales?

Tantos como grados de libertad: dos masas, cada una a lo largo de un eje. Cualquier otro movimiento es combinación lineal del modo simétrico y del antisimétrico.

¿Qué son las pulsaciones?

Paso lento de la energía cuando se excitan a la vez dos modos de frecuencias cercanas. Si se desplaza una masa y la otra se deja en reposo, entran ambos modos; la frecuencia de las pulsaciones es |ωₐ − ωₛ|.

¿Cómo se excita un solo modo?

Desplace ambas masas por igual: el resorte central no trabaja y queda ωₛ. Desplácelas una hacia la otra la misma cantidad: se excita sobre todo ωₐ. Las plantillas del panel ponen justo esas condiciones iniciales.

¿Dónde más aparecen oscilaciones acopladas?

Dos péndulos unidos por un resorte, átomos en una red, circuitos oscilantes acoplados, enlaces en una molécula. Los modos normales son el lenguaje común de esos sistemas.

Oscilaciones acopladas

Dos masas y tres resortes: modos normales ωₛ, ωₐ y pulsaciones.

Gráficas

Sobre el modelo

Oscilaciones acopladas: dos masas iguales entre dos resortes externos de constante k y un resorte central de constante K. Las ecuaciones son mẍ₁ = −k x₁ − K(x₁ − x₂) y mẍ₂ = −k x₂ − K(x₂ − x₁). El movimiento se descompone en modos normales: el simétrico (las masas van juntas y el resorte central no se deforma) con frecuencia ωₛ = √(k/m), y el antisimétrico (una hacia la otra) con ωₐ = √((k + 2K)/m). Si los tres resortes son iguales (K = k), queda el familiar ωₐ = √(3k/m). Un arranque cualquiera es superposición de modos; si las frecuencias son cercanas se ven pulsaciones: la energía pasa despacio de una masa a la otra. Los resortes son de Hooke, no hay amortiguamiento y el movimiento es unidimensional.

Para quién: Bachillerato (profundización) y primer curso: modos normales, pulsaciones, oscilaciones acopladas de dos masas.

Conceptos clave

oscilaciones acopladas
modos normales
pulsaciones
ley de Hooke
modo simétrico
modo antisimétrico
superposición

Cómo funciona

Dos masas iguales están entre resortes extremos de constante k y unidas por el resorte central K. Frecuencias normales: ωₛ = √(k/m) (las masas juntas) y ωₐ = √((k + 2K)/m) (una hacia la otra). Un arranque cualquiera es superposición de modos; en las gráficas x₁(t) y x₂(t) se ven las pulsaciones.

Fórmulas principales

mẍ₁ = −k x₁ − K(x₁ − x₂) · mẍ₂ = −k x₂ − K(x₂ − x₁)

ωₛ = √(k/m) · ωₐ = √((k + 2K)/m)

Preguntas frecuentes

¿Por qué dos masas tienen exactamente dos modos normales?: Tantos como grados de libertad: dos masas, cada una a lo largo de un eje. Cualquier otro movimiento es combinación lineal del modo simétrico y del antisimétrico.
¿Qué son las pulsaciones?: Paso lento de la energía cuando se excitan a la vez dos modos de frecuencias cercanas. Si se desplaza una masa y la otra se deja en reposo, entran ambos modos; la frecuencia de las pulsaciones es |ωₐ − ωₛ|.
¿Cómo se excita un solo modo?: Desplace ambas masas por igual: el resorte central no trabaja y queda ωₛ. Desplácelas una hacia la otra la misma cantidad: se excita sobre todo ωₐ. Las plantillas del panel ponen justo esas condiciones iniciales.
¿Dónde más aparecen oscilaciones acopladas?: Dos péndulos unidos por un resorte, átomos en una red, circuitos oscilantes acoplados, enlaces en una molécula. Los modos normales son el lenguaje común de esos sistemas.

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