Warum wächst die Beschleunigung, wenn mehr Kette herabhängt?

Die treibende Kraft wächst mit s, die Reibung auf dem Tisch fällt wie (L−s). Beides vergrößert die Resultierende, bis das letzte Glied den Tisch verlässt.

Bei welchem Überhang reißt die Kette gerade los?

Ruhe, solange s ≤ μ_s(L−s), also s_crit = μ_s L / (1 + μ_s). Ein etwas größerer Überhang — die Haftreibung hält nicht mehr, das Gleiten beginnt.

Worin unterscheidet sich das Modell von einer echten Kette?

Die Kante ist glatt, die Kette knickt rechtwinklig wie ein starres L. Eine echte Kette hat Krümmung an der Kante und innere Reibung; die eindimensionale Kräftebilanz zeigt aber schon den Streit zwischen der Gewichtskraft des Überhangs und der Reibung auf dem Tisch.

Kette gleitet vom Tisch

Homogene Kette auf glatter Tischkante: der herabhängende Teil zieht, die Reibung auf der Platte hält. Die Beschleunigung wächst mit dem Überhang s.

Zum Modell

Eine homogene Kette gleitet vom Tisch, sobald der herabhängende Teil die Haftreibung auf der Platte überwindet. Die Kette hat die lineare Massendichte λ = M/L und liegt auf einem waagerechten Tisch mit glatter senkrechter Kante. Das herabhängende Stück der Länge s wirkt mit der Gewichtskraft λgs; das Stück auf dem Tisch (Länge L−s) erzeugt die Normalkraft und die Reibungskraft μλg(L−s). Nimmt man die ganze Kette als ein System, so ist die Beschleunigung längs der Gleitbahn a = (g/L)(s − μ(L−s)), sobald die Haftreibung überwunden ist (s > μ_s(L−s)).

Für wen: Klassen 8–10 und erstes Semester: veränderliche Überhanglänge, Haftreibung und Gleitreibung.

Wichtige Begriffe

haftreibung
gleitreibung
lineare massendichte
kritischer überhang
homogene kette

So funktioniert es

Eine homogene Kette der Länge L liegt auf dem Tisch, Überhang s. Das herabhängende Stück zieht mit λgs, auf dem Tisch wirkt die Reibung μλg(L−s). Solange s ≤ μ_s(L−s), ruht die Kette; nach dem Losreißen ist a = (g/L)(s − μ_k(L−s)). Die Beschleunigung wächst: der Zug nimmt zu, die Reibung fällt. Auf dem Bildschirm: Überhang, Geschwindigkeit und der Augenblick, in dem die Kette den Tisch verlässt. Die Krümmung an der Kante bleibt unberücksichtigt.

Wichtige Gleichungen

Gleiten bei: s > μ_s (L − s) ⇒ s_crit = μ_s L / (1 + μ_s)

a = (g/L)(s − μ_k(L − s)), ṡ = v, s̈ = a

Häufige Fragen

Warum wächst die Beschleunigung, wenn mehr Kette herabhängt?: Die treibende Kraft wächst mit s, die Reibung auf dem Tisch fällt wie (L−s). Beides vergrößert die Resultierende, bis das letzte Glied den Tisch verlässt.
Bei welchem Überhang reißt die Kette gerade los?: Ruhe, solange s ≤ μ_s(L−s), also s_crit = μ_s L / (1 + μ_s). Ein etwas größerer Überhang — die Haftreibung hält nicht mehr, das Gleiten beginnt.
Worin unterscheidet sich das Modell von einer echten Kette?: Die Kante ist glatt, die Kette knickt rechtwinklig wie ein starres L. Eine echte Kette hat Krümmung an der Kante und innere Reibung; die eindimensionale Kräftebilanz zeigt aber schon den Streit zwischen der Gewichtskraft des Überhangs und der Reibung auf dem Tisch.

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