Лагранж и кубический сплайн
Полиномиальная интерполяция строит гладкую кривую, проходящую **точно** через заданные узлы. **Интерполяция Лагранжа** задаёт **единственный** глобальный многочлен степени не выше **n−1** через **n** различных абсцисс в классической произведенной форме базисных многочленов. Элегантно и однозначно, но при **высокой** степени и **равномерной** сетке узлов такой многочлен может сильно **осциллировать** между узлами — классическая иллюстрация **явления Рунге**. **Кубические сплайны** идут другим путём: на каждом отрезке между соседними узлами — **отдельный куб**, при этом на внутренних узлах непрерывны значения, первая и вторая производные. **Естественный** кубический сплайн дополнительно обнуляет **вторую производную** на **концах** интервала — это снимает неоднозначность и в точном смысле даёт «наименее изогнутую» среди дважды дифференцируемых интерполянтов кривую (минимум интеграла от квадрата второй производной). Симулятор позволяет расставлять и перетаскивать узлы, сравнивать интерполянт Лагранжа (синий) и естественный сплайн (зелёный), загружать пресеты, в том числе **равномерную** «колоколообразную» функцию в духе Рунге: многочлен «дёргается» у краёв, а сплайн остаётся визуально спокойным. Так закрепляется разница между **глобальной** высокой степенью и **кусочно-низкой** степенью — ключевая идея вычислительной математики, компьютерной графики и сглаживания данных.
Для кого: Студенты курсов численных методов, прикладной математики и научных вычислений, а также все, кто осваивает интерполяцию до регрессии и сплайнов с штрафом.
Ключевые понятия
- Интерполяция Лагранжа
- Явление Рунге
- Естественный кубический сплайн
- Кусочно-многочленная функция
- Трёхдиагональная система
- Непрерывность сплайна
- Интерполяция и аппроксимация
Как это работает
**Лагранж** строит **один** многочлен степени **n−1** через **n** узлов. **Естественный кубический сплайн** — **кусочно-кубическая** кривая: на каждом отрезке между соседними узлами — куб, значения и первые две производые стыкуются, на концах **S″ = 0**. На равномерной сетке и «острой» функции (пресет **Рунге**) высокая степень Лагранжа даёт **большие осцилляции у краёв**; сплайн остаётся гладким — наглядное сравнение **глобального** многочлена и **локальной** кусочной модели.
Основные формулы
Часто задаваемые вопросы
- Почему синяя кривая Лагранжа так сильно колеблется при многих равноотстоящих узлах?
- Это явление Рунге: для некоторых гладких функций равномерная сетка заставляет **единственный** интерполяционный многочлен высокой степени давать **большие перегибы** у концов интервала. Ошибка может расти с ростом степени, хотя многочлен по-прежнему проходит через **каждый** узел.
- Что значит «естественный» кубический сплайн?
- На **крайних** узлах вторая производная полагается **нулевой**. Это фиксирует степени свободы системы и в математическом смысле часто соответствует **наименьшей «кривизне»** (минимум интеграла от квадрата второй производной) среди интерполянтов, проходящих через все узлы.
- Сплайн всегда ближе к «ожиданию», чем многочлен?
- Часто **визуально** да: каждый кусок только кубический, глобальные условия гладкости не дают взрывного поведения на краях, типичного для высоких степеней. Но сплайн всё ещё **точная интерполяция** — для подавления шума обычно переходят к **МНК** или **штрафным сплайнам**.
- Почему абсциссы узлов должны быть различны?
- График функции не может проходить через две разные ординаты при одной и той же абсциссе. В формуле Лагранжа знаменатели **(xⱼ − xᵢ)** обратились бы в ноль, а система для одного многочлена стала бы вырожденной. Симулятор требует минимальный горизонтальный зазор при добавлении узлов и слегка раздвигает совпадения после перетаскивания.
Ещё из «Визуализация математики»
Другие симуляторы в этой категории — или все 33.
Метод наименьших квадратов
Зашумленные линейные данные; подобранные угловой коэффициент и свободный член с остатками.
Свёртка (импульсы)
Два прямоугольных импульса; длина перекрытия при τ = 0.
Эйлер и РК4 (Маятник)
Одно и то же нелинейное уравнение маятника и шаг h; прямое сравнение методов Эйлера и РК4.
Лотка–Вольтерра
N′ = αN−βNP, P′ = δNP−γP; фазовая плоскость RK4; точка равновесия.
Логистический рост
dN/dt = rN(1−N/K); точная S-образная кривая и ёмкость среды K.
Бифуркации логистического отображения
xₙ₊₁ = r xₙ(1−xₙ): сдвиг по r, аттракторы — удвоение периода и хаос (каскад Фейгенбаума).