¿Por qué el polinomio de Lagrange oscila tanto con muchos nodos equiespaciados?

Es el fenómeno de Runge: para algunas funciones suaves, la malla uniforme obliga al único polinomio interpolante de grado alto a dar grandes inflexiones cerca de los extremos del intervalo. El error puede crecer con el grado, aunque el polinomio siga pasando por cada nodo.

¿Qué significa «natural» en el spline cúbico?

En los nodos extremos la segunda derivada se toma nula. Eso fija los grados de libertad y corresponde a la menor «curvatura» (mínimo de la integral del cuadrado de la segunda derivada) entre los interpolantes que pasan por todos los nodos.

¿El spline siempre se acerca más a la forma esperada que el polinomio?

A menudo, a la vista, sí: cada trozo es solo cúbico y no hay el comportamiento explosivo en los extremos típico de los grados altos. Pero el spline sigue siendo interpolación exacta: para atenuar ruido se suele pasar a mínimos cuadrados o a splines con penalización.

¿Por qué las abscisas de los nodos deben ser distintas?

La gráfica de una función no puede pasar por dos ordenadas distintas con la misma abscisa. En la fórmula de Lagrange los denominadores (xⱼ − xᵢ) se anularían, y el sistema para un solo polinomio quedaría degenerado. Al agregar nodos hace falta una holgura horizontal mínima; las coincidencias tras arrastrar se separan un poco.

Lagrange y spline cúbico

Nodos con un clic: el polinomio de Lagrange frente al spline cúbico natural. La plantilla de Runge muestra las oscilaciones en los extremos de grado alto.

Sobre el modelo

La interpolación polinomial construye una curva que pasa exactamente por los nodos dados. La interpolación de Lagrange define el único polinomio global de grado a lo más n−1 a través de n abscisas distintas, en forma de producto de polinomios básicos. Con grado alto y malla uniforme el polinomio puede oscilar fuerte entre nodos: el fenómeno de Runge. Los splines cúbicos van de otro modo: en cada intervalo entre nodos vecinos hay un cúbico aparte; en los nodos interiores son continuos el valor y las dos primeras derivadas. El spline cúbico natural anula la segunda derivada en los extremos y da la curva menos doblada entre los interpolantes dos veces diferenciables (mínimo de la integral del cuadrado de la segunda derivada). Los nodos se pueden colocar y arrastrar; se comparan el interpolante de Lagrange y el spline natural. La plantilla con malla uniforme al estilo de Runge muestra las oscilaciones del polinomio en los extremos, con el spline en calma.

Para quién: Métodos numéricos y matemática aplicada: interpolación, fenómeno de Runge, splines.

Conceptos clave

interpolación de Lagrange
fenómeno de Runge
spline cúbico natural
función polinomial a trozos
sistema tridiagonal
continuidad del spline
interpolación y aproximación

Cómo funciona

La interpolación de Lagrange construye un solo polinomio de grado n−1 a través de n nodos. El spline cúbico natural es una curva cúbica a trozos: en cada intervalo entre nodos vecinos hay un cúbico, se empalman valores y las dos primeras derivadas, y en los extremos S″ = 0. En una malla uniforme y una función «aguda» (plantilla de Runge) el grado alto de Lagrange da grandes oscilaciones cerca de los bordes; el spline se queda suave.

Fórmulas principales

Lagrange: P(x) = Σⱼ yⱼ · Πᵢ≠ⱼ (x−xᵢ)/(xⱼ−xᵢ)

Spline: cúbico en [xᵢ,xᵢ₊₁]; continuas S, S′, S″; S″(x₀)=S″(xₙ₋₁)=0

Preguntas frecuentes

¿Por qué el polinomio de Lagrange oscila tanto con muchos nodos equiespaciados?: Es el fenómeno de Runge: para algunas funciones suaves, la malla uniforme obliga al único polinomio interpolante de grado alto a dar grandes inflexiones cerca de los extremos del intervalo. El error puede crecer con el grado, aunque el polinomio siga pasando por cada nodo.
¿Qué significa «natural» en el spline cúbico?: En los nodos extremos la segunda derivada se toma nula. Eso fija los grados de libertad y corresponde a la menor «curvatura» (mínimo de la integral del cuadrado de la segunda derivada) entre los interpolantes que pasan por todos los nodos.
¿El spline siempre se acerca más a la forma esperada que el polinomio?: A menudo, a la vista, sí: cada trozo es solo cúbico y no hay el comportamiento explosivo en los extremos típico de los grados altos. Pero el spline sigue siendo interpolación exacta: para atenuar ruido se suele pasar a mínimos cuadrados o a splines con penalización.
¿Por qué las abscisas de los nodos deben ser distintas?: La gráfica de una función no puede pasar por dos ordenadas distintas con la misma abscisa. En la fórmula de Lagrange los denominadores (xⱼ − xᵢ) se anularían, y el sistema para un solo polinomio quedaría degenerado. Al agregar nodos hace falta una holgura horizontal mínima; las coincidencias tras arrastrar se separan un poco.

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