Pourquoi, à a constant, le graphe v(t) est-il une droite inclinée ?

Une accélération constante veut dire : chaque seconde, la vitesse change de la même quantité. L’intégrale d’une constante est une fonction linéaire ; la pente de cette droite vaut a. Si a > 0, la vitesse croît ; si a < 0, elle diminue.

Que donne l’aire sous le graphe v(t) ?

La variation de position (le déplacement) sur cet intervalle. De même, l’aire sous a(t) égale la variation de vitesse. C’est la lecture lycée des graphes : l’intégrale comme une aire.

Si la vitesse s’annule, le mobile s’est-il arrêté pour de bon ?

Non, seulement à cet instant v = 0. Si l’accélération n’est pas nulle, la vitesse redevient tout de suite non nulle et le mobile repart — souvent dans l’autre sens. Sur le graphe x(t), c’est en général un extremum.

En quoi le graphe x(t) diffère-t-il du graphe de la distance parcourue ?

La position x peut croître et décroître ; la distance parcourue, elle, ne fait que s’accumuler. Ici on trace x(t) : quand la vitesse change de signe, le mobile revient et la courbe descend.

Accélération, vitesse et position

Q: Que donne l’aire sous le graphe v(t) ?

La variation de position (le déplacement) sur cet intervalle. De même, l’aire sous a(t) égale la variation de vitesse. C’est la lecture lycée des graphes : l’intégrale comme une aire.

Q: Si la vitesse s’annule, le mobile s’est-il arrêté pour de bon ?

Non, seulement à cet instant v = 0. Si l’accélération n’est pas nulle, la vitesse redevient tout de suite non nulle et le mobile repart — souvent dans l’autre sens. Sur le graphe x(t), c’est en général un extremum.

Q: En quoi le graphe x(t) diffère-t-il du graphe de la distance parcourue ?

La position x peut croître et décroître ; la distance parcourue, elle, ne fait que s’accumuler. Ici on trace x(t) : quand la vitesse change de signe, le mobile revient et la courbe descend.

À partir de a(t) on obtient v(t) et x(t) : la vitesse est l’intégrale de l’accélération, la position l’intégrale de la vitesse. Trois graphes sur le même axe des temps.

À propos du modèle

L’accélération, la vitesse et la position sont liées en cinématique unidimensionnelle : v = dx/dt, a = dv/dt. Si a(t) est donné, alors v(t) = v₀ + ∫ a dt, x(t) = x₀ + ∫ v dt. À accélération constante depuis le repos : v = at, x = ½at². L’aire sous le graphe a(t) sur un intervalle égale la variation de vitesse ; l’aire sous v(t) égale le déplacement. Les trois graphes partagent l’axe des temps : la pente de v(t) vaut a, celle de x(t) vaut v. Ni forces ni résistance : a(t) est imposé (constant ou courte impulsion). Le mouvement part du repos à l’origine.

Public : Seconde et première, cinématique : lien entre les graphes a(t), v(t) et x(t).

Notions clés

cinématique
accélération
vitesse
position
graphe a(t)
aire sous la courbe
déplacement

Comment ça marche

On se donne a(t) — constant ou impulsion. La vitesse s’obtient par intégration : Δv = aire sous a(t) ; la position, en intégrant la vitesse : Δx = aire sous v(t). À a constant depuis le repos, v = at, x = ½at². À l’écran, trois graphes synchronisés : la pente de v vaut a, celle de x vaut v.

Questions fréquentes

Pourquoi, à a constant, le graphe v(t) est-il une droite inclinée ?: Une accélération constante veut dire : chaque seconde, la vitesse change de la même quantité. L’intégrale d’une constante est une fonction linéaire ; la pente de cette droite vaut a. Si a > 0, la vitesse croît ; si a < 0, elle diminue.
Que donne l’aire sous le graphe v(t) ?: La variation de position (le déplacement) sur cet intervalle. De même, l’aire sous a(t) égale la variation de vitesse. C’est la lecture lycée des graphes : l’intégrale comme une aire.
Si la vitesse s’annule, le mobile s’est-il arrêté pour de bon ?: Non, seulement à cet instant v = 0. Si l’accélération n’est pas nulle, la vitesse redevient tout de suite non nulle et le mobile repart — souvent dans l’autre sens. Sur le graphe x(t), c’est en général un extremum.
En quoi le graphe x(t) diffère-t-il du graphe de la distance parcourue ?: La position x peut croître et décroître ; la distance parcourue, elle, ne fait que s’accumuler. Ici on trace x(t) : quand la vitesse change de signe, le mobile revient et la courbe descend.

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