Por que o estado é de quatro dimensões?

O filtro leva x, y e as velocidades vₓ, vᵧ. Mesmo que o sensor dê só coordenadas, a velocidade reconstrói-se com a dinâmica de velocidade constante e o passo de correção de Kalman.

O que acontece se R for muito menor que Q?

O filtro confia nas medições e a estimativa cola-se aos pontos ruidosos: a elipse comprime-se, mas a trajetória treme. Um R grande dá um rastro mais suave, embora atrasado.

Filtro de Kalman: rastreamento 2D

Filtro de velocidade constante em quatro dimensões: medições ruidosas (x,y), ruído de aceleração de processo Q, variância de medição R e elipse de covariância ao vivo ≈2σ.

Sobre o modelo

O rastreamento de um alvo no plano pelo filtro de Kalman estima posição e velocidade a partir de medições ruidosas (x, y). O modelo de velocidade constante dá um estado de quatro dimensões; o ruído de processo é aceleração branca, de modo que a matriz discreta Q acopla a incerteza de coordenada e de velocidade. A elipse âmbar é o contorno ≈2σ do bloco de posição da covariância P. Comparar o RMSE da estimativa com o dos pontos brutos mostra como Q e R mudam o atraso versus o tremor. A verdade pode ir por uma circunferência, uma figura de Lissajous, uma diagonal ou um passeio aleatório.

Para quem: Estimação, robótica, controle: filtro de Kalman e rastreamento de um alvo.

Conceitos-chave

filtro de Kalman
rastreamento em 2D
elipse de covariância
ruído de processo Q
ruído de medição R
modelo de velocidade constante

Como funciona

O filtro de Kalman estima o estado [x, y, vₓ, vᵧ] a partir de medições ruidosas de posição. Previsão: x̂⁻ = F x̂, P⁻ = F P Fᵀ + Q, em que Q modela aceleração branca. Correção: K = P⁻ Hᵀ (H P⁻ Hᵀ + R)⁻¹ aproxima a estimativa da medição z. A elipse âmbar é o contorno ≈2σ do bloco de posição de P; comparar o RMSE da estimativa e das medições mostra o compromisso entre atraso e tremor ao escolher Q e R.

Fórmulas principais

x = [x, y, vₓ, vᵧ]ᵀ · F de velocidade constante · z = [x, y]ᵀ + v

Previsão: x̂⁻ = F x̂, P⁻ = F P Fᵀ + Q

Correção: K = P⁻ Hᵀ (H P⁻ Hᵀ + R)⁻¹, x̂ = x̂⁻ + K(z − H x̂⁻)

Perguntas frequentes

Por que o estado é de quatro dimensões?: O filtro leva x, y e as velocidades vₓ, vᵧ. Mesmo que o sensor dê só coordenadas, a velocidade reconstrói-se com a dinâmica de velocidade constante e o passo de correção de Kalman.
O que acontece se R for muito menor que Q?: O filtro confia nas medições e a estimativa cola-se aos pontos ruidosos: a elipse comprime-se, mas a trajetória treme. Um R grande dá um rastro mais suave, embora atrasado.

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