Por que em algumas matrizes não há setas?

As setas se desenham só se os autovalores são reais. Se as raízes do polinômio característico são complexas, no plano real não há retas invariantes: a transformação gira e alonga, mas não deixa uma direção própria real.

Por que duas setas estão na mesma reta, mas apontam sentidos opostos?

O autovetor fixa uma reta, não uma só seta. Se λ > 0, os vetores dessa reta conservam a orientação; se λ < 0, eles se refletem. As duas setas mostram a mesma direção própria.

Uma matriz 2×2 pode ter mais de duas direções próprias?

Autovetores linearmente independentes, no máximo dois. O caso especial é um múltiplo escalar da identidade, por exemplo [[2, 0], [0, 2]]: então todo vetor não nulo é autovetor e a transformação é um alongamento uniforme.

Como isso se liga ao traço e ao determinante?

A equação característica é λ² − (tr M)λ + det M = 0. O sinal do discriminante (tr M)² − 4 det M decide se λ é real. Esses mesmos invariantes se leem nos controles a, b, c, d.

Matriz 2×2 e autovetores

Q: Uma matriz 2×2 pode ter mais de duas direções próprias?

Autovetores linearmente independentes, no máximo dois. O caso especial é um múltiplo escalar da identidade, por exemplo [[2, 0], [0, 2]]: então todo vetor não nulo é autovetor e a transformação é um alongamento uniforme.

Q: Como isso se liga ao traço e ao determinante?

A equação característica é λ² − (tr M)λ + det M = 0. O sinal do discriminante (tr M)² − 4 det M decide se λ é real. Esses mesmos invariantes se leem nos controles a, b, c, d.

Transformação linear do plano pela matriz M: a malha quadrada vira um reticulado de paralelogramos. Com λ reais, setas ao longo das direções invariantes.

Sobre o modelo

A matriz 2×2 define uma transformação linear do plano: v′ = Mv. A malha coordenada quadrada vira um reticulado de paralelogramos: alongamento, cisalhamento, compressão ou giro. Um autovetor x é um vetor não nulo cuja direção não muda: Mx = λx. O autovalor λ diz se o vetor se alonga (|λ| > 1), se comprime (|λ| < 1), muda de orientação (λ < 0) ou conserva o comprimento (|λ| = 1). No painel direito, se λ é real, desenham-se setas ao longo das direções próprias; o comprimento vai com |λ|. Autovalores complexos correspondem a um giro sem retas invariantes no plano real: então não há setas, mas a malha se deforma do mesmo jeito. O traço, o determinante e a equação característica det(M − λI) = 0 decidem se há um par real de direções.

Para quem: Álgebra linear: transformações lineares, autovetores, equação característica.

Conceitos-chave

transformação linear
autovetor
autovalor
produto de matriz por vetor
determinante
equação característica
direção invariante
diagonalização

Como funciona

A transformação (x, y) ↦ (ax + by, cx + dy) leva a malha quadrada a um reticulado de paralelogramos. Se λ é real, os autovetores estão nas direções que só se escalam: no painel direito, duas setas a partir da origem se o discriminante ≥ 0. λ complexos significam que em ℝ² não há um par de retas próprias reais.

Fórmulas principais

det(M − λI) = 0 · tr = a+d · det = ad − bc

Perguntas frequentes

Por que em algumas matrizes não há setas?: As setas se desenham só se os autovalores são reais. Se as raízes do polinômio característico são complexas, no plano real não há retas invariantes: a transformação gira e alonga, mas não deixa uma direção própria real.
Por que duas setas estão na mesma reta, mas apontam sentidos opostos?: O autovetor fixa uma reta, não uma só seta. Se λ > 0, os vetores dessa reta conservam a orientação; se λ < 0, eles se refletem. As duas setas mostram a mesma direção própria.
Uma matriz 2×2 pode ter mais de duas direções próprias?: Autovetores linearmente independentes, no máximo dois. O caso especial é um múltiplo escalar da identidade, por exemplo [[2, 0], [0, 2]]: então todo vetor não nulo é autovetor e a transformação é um alongamento uniforme.
Como isso se liga ao traço e ao determinante?: A equação característica é λ² − (tr M)λ + det M = 0. O sinal do discriminante (tr M)² − 4 det M decide se λ é real. Esses mesmos invariantes se leem nos controles a, b, c, d.

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