¿Por qué dos rectángulos dan un trapecio o un triángulo?

El valor en cada τ es el área de solapamiento. Mientras los pulsos se van superponiendo, el área crece de forma lineal; en el solapamiento completo hay una meseta; luego cae en forma lineal. Si los anchos son iguales, la meseta se reduce a un punto y queda un triángulo.

¿Qué es el parámetro de desplazamiento τ?

Es el retraso relativo. En la integral, g(τ − t) es una copia de g(t) reflejada y desplazada. Al cambiar τ se mueve esa copia a lo largo de un f(t) fijo; la salida (f∗g)(τ) es el área de solapamiento con ese retraso.

¿Para qué sirve esto en el procesamiento de señales?

El rectángulo modela una ventana de promedio de duración finita. Convolucionar con esa ventana suaviza las oscilaciones rápidas: es la integral móvil más simple. De ahí el camino a los filtros y a la respuesta al impulso de un sistema lineal.

¿En qué se diferencia la convolución continua de la discreta?

Aquí se integra el área sobre el eje t. En el procesamiento digital se suman productos de muestras. Los rectángulos ideales sin ruido son un recorte didáctico; las señales reales casi nunca son así.

Convolución de pulsos rectangulares

Dos pulsos rectangulares de altura unitaria: la convolución (f∗g)(τ) es el área de solapamiento al desplazar τ. En τ = 0, en pantalla está la longitud de la intersección.

Sobre el modelo

La convolución describe cómo una función se «arrastra» sobre otra: (f∗g)(τ) = ∫ f(t) g(τ − t) dt. El parámetro τ es el desplazamiento relativo; g se refleja y se desliza a lo largo del eje t, y la integral da el área de solapamiento. Para dos rectángulos de altura unitaria la integral es la longitud de la intersección. La convolución de rectángulos de anchos A y B da un trapecio (un triángulo si A = B); el ancho del soporte es A + B. Es el cuadro didáctico del suavizado y de los sistemas lineales e invariantes en el tiempo: pulsos ideales sin ruido, tiempo continuo, frentes abruptos. La misma operación, en probabilidad, suma variables independientes; en física da la respuesta a una entrada si se conoce la respuesta al impulso.

Para quién: Señales y sistemas, sistemas lineales, transformadas integrales.

Conceptos clave

convolución
integral de convolución
pulso rectangular
parámetro de desplazamiento
área de solapamiento
sistema lineal e invariante en el tiempo
respuesta trapezoidal

Cómo funciona

La convolución (f∗g)(τ) = ∫ f(t) g(τ − t) dt mide el solapamiento cuando una función se refleja y se desplaza. Para rectángulos de altura unitaria la integral es la longitud de la intersección. En pantalla, en τ = 0, esa longitud se marca en verde; los anchos de los pulsos y el desplazamiento de g se fijan con los controles.

Preguntas frecuentes

¿Por qué dos rectángulos dan un trapecio o un triángulo?: El valor en cada τ es el área de solapamiento. Mientras los pulsos se van superponiendo, el área crece de forma lineal; en el solapamiento completo hay una meseta; luego cae en forma lineal. Si los anchos son iguales, la meseta se reduce a un punto y queda un triángulo.
¿Qué es el parámetro de desplazamiento τ?: Es el retraso relativo. En la integral, g(τ − t) es una copia de g(t) reflejada y desplazada. Al cambiar τ se mueve esa copia a lo largo de un f(t) fijo; la salida (f∗g)(τ) es el área de solapamiento con ese retraso.
¿Para qué sirve esto en el procesamiento de señales?: El rectángulo modela una ventana de promedio de duración finita. Convolucionar con esa ventana suaviza las oscilaciones rápidas: es la integral móvil más simple. De ahí el camino a los filtros y a la respuesta al impulso de un sistema lineal.
¿En qué se diferencia la convolución continua de la discreta?: Aquí se integra el área sobre el eje t. En el procesamiento digital se suman productos de muestras. Los rectángulos ideales sin ruido son un recorte didáctico; las señales reales casi nunca son así.

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