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Inicio/Visualización matemática/Fasor complejo

Fasor complejo

Punto e^{i(ωt+φ)} sobre la circunferencia unitaria; proyecciones Re, Im y fase φ.

Oscilación

1.2 rad/s
0°
1×

La fórmula de Euler liga el coseno y el seno con la exponencial compleja. La proyección sobre el eje real es cos(ωt+φ); sobre el imaginario, sin(ωt+φ): el mismo movimiento armónico que en los circuitos de corriente alterna y en las ondas.

Magnitudes medidas

Re = cos(θ)1.000
Im = sin(θ)0.000

Sobre el modelo

El fasor complejo e^{i(ωt+φ)} es un punto sobre la circunferencia unitaria que corre con velocidad angular ω. Por la fórmula de Euler e^{iθ} = cos θ + i sin θ, la proyección sobre el eje real es cos(ωt+φ); sobre el imaginario, sin(ωt+φ). El ángulo θ = ωt+φ es la fase instantánea. La amplitud vale 1: se ve la rotación y las proyecciones, sin sumar varios fasores de distinta longitud. Es el mismo movimiento armónico que en las oscilaciones y en los circuitos de corriente alterna, donde el voltaje y la corriente se escriben con amplitudes complejas. El módulo no cambia: no hay amortiguamiento.

Para quién: Oscilaciones y circuitos de corriente alterna: fórmula de Euler, fasor, proyecciones sobre los ejes Re e Im.

Conceptos clave

  • fasor
  • fórmula de Euler
  • exponencial compleja
  • frecuencia angular
  • fase
  • parte real
  • parte imaginaria
  • circunferencia unitaria

Cómo funciona

El punto e^{i(ωt+φ)} corre sobre la circunferencia unitaria con velocidad angular ω. Por la fórmula de Euler la proyección sobre el eje Re es cos(ωt+φ); sobre el eje Im, sin(ωt+φ). Es un solo movimiento armónico en dos proyecciones; el módulo vale 1.

Preguntas frecuentes

¿Para qué la unidad imaginaria si el voltaje es real?
La escritura compleja es un cálculo cómodo. A la oscilación física suele corresponder la parte real Re(Ae^{iωt}). El eje imaginario del dibujo es la segunda proyección de la misma rotación: un seno desfasado 90°.
¿Para qué el fasor si ya hay una gráfica del seno?
Sumar dos senoides de la misma frecuencia en fasores es sumar vectores en el plano. Las identidades trigonométricas son más largas; en los circuitos de corriente alterna así se suman voltajes y corrientes.
¿Qué fija el deslizador de la fase φ?
El ángulo inicial: θ = ωt + φ. El corrimiento φ gira la flecha en el instante t = 0 y desplaza ambas proyecciones en el tiempo, sin cambiar la frecuencia ni la amplitud.