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Inicio/Biofísica, fluidos y geociencias/Umbral de vacunación en el modelo SIR

Umbral de vacunación en el modelo SIR

Umbral de inmunidad colectiva: R_eff = R0(1−v), brotes SIR, pico de infectados y tamaño final según la cobertura de vacunación.

SIR y vacunación

2.7
0.18 1/d
0.42
0.004

Magnitudes medidas

R_eff1.566
Umbral colectivo63.0%
Pico de infectados4.63%
Tamaño del brote35.17%

Los vacunados empiezan en R. El umbral es una idealización de población homogénea, no una garantía contra brotes agrupados.

Gráficas

Sobre el modelo

La epidemia no se sostiene si la fracción inmune es lo bastante grande: el número medio de contagios secundarios cae por debajo de uno. En el modelo SIR los vacunados están, desde t = 0, en la clase de inmunes R; para el resto valen las ecuaciones usuales — contagio βSI, recuperación γI. El número reproductivo efectivo es R_eff = R0(1 − v); el umbral de inmunidad colectiva es v_c = 1 − 1/R0. En las gráficas aparecen las fracciones S, I, R y el tamaño final del brote en función de la cobertura: por encima del umbral el brote no se desarrolla; por debajo quedan el pico de infectados y la fracción que ya enfermó. La población es homogénea y la vacuna protege por completo.

Para quién: Epidemiología y biología matemática: modelo SIR, inmunidad colectiva, cobertura de vacunación.

Conceptos clave

  • modelo SIR
  • inmunidad colectiva
  • número reproductivo efectivo
  • número reproductivo básico
  • tamaño final del brote
  • cobertura de vacunación

Cómo funciona

En el modelo SIR la vacunación pasa de inmediato la fracción v a la clase de inmunes. Entonces la fracción de susceptibles baja a 1−v y el número reproductivo efectivo queda R_eff=R0(1−v). El umbral ideal de inmunidad colectiva sigue de R_eff<1: v_c=1−1/R0.

Fórmulas principales

Ṡ = −βSI, İ = βSI − γI, Ṙ = γI
R_eff = R0(1−v), umbral colectivo v_c = 1 − 1/R0

Preguntas frecuentes

¿Qué es el umbral de inmunidad colectiva?
En el SIR homogéneo es la fracción inmune v_c = 1 − 1/R0 con la que R_eff cae por debajo de uno y el brote no se sostiene. Para R0 = 3 el umbral es 2/3. Es un promedio poblacional, no una garantía de cero introducciones.
¿Por qué la vacunación reduce R_eff?
Los vacunados salen del conjunto de blancos posibles de la transmisión. Si la cobertura es v, la fracción de susceptibles al inicio es 1 − v, de modo que R_eff = R0(1 − v).
¿El umbral garantiza que no habrá casos?
No. Es la condición para que el número medio de casos secundarios sea menor que uno. Las introducciones, los contactos heterogéneos y los conglomerados de no vacunados igual pueden dar brotes locales.