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Inicio/Biofísica, fluidos y geociencias/Umbral de vacunación en el modelo SIR

Umbral de vacunación en el modelo SIR

Umbral de inmunidad colectiva: R_eff = R0(1−v), brotes SIR, pico de infectados y tamaño final según la cobertura de vacunación.

Los vacunados empiezan en R. El umbral es una idealización de población homogénea, no una garantía contra brotes agrupados.

SIR y vacunación

2.7
0.18 1/d
0.42
0.004

Magnitudes medidas

R_eff1.566
Umbral colectivo63.0%
Pico de infectados4.63%
Tamaño del brote35.17%

Gráficas

Sobre el modelo

La epidemia no se sostiene si la fracción inmune es lo bastante grande: el número medio de contagios secundarios cae por debajo de uno. En el modelo SIR los vacunados están, desde t = 0, en la clase de inmunes R; para el resto valen las ecuaciones usuales — contagio βSI, recuperación γI. El número reproductivo efectivo es R_eff = R0(1 − v); el umbral de inmunidad colectiva es v_c = 1 − 1/R0. En las gráficas aparecen las fracciones S, I, R y el tamaño final del brote en función de la cobertura: por encima del umbral el brote no se desarrolla; por debajo quedan el pico de infectados y la fracción que ya enfermó. La población es homogénea y la vacuna protege por completo.

Para quién: Epidemiología y biología matemática: modelo SIR, inmunidad colectiva, cobertura de vacunación.

Conceptos clave

  • modelo SIR
  • inmunidad colectiva
  • número reproductivo efectivo
  • número reproductivo básico
  • tamaño final del brote
  • cobertura de vacunación

Cómo funciona

En el modelo SIR la vacunación pasa de inmediato la fracción v a la clase de inmunes. Entonces la fracción de susceptibles baja a 1−v y el número reproductivo efectivo queda R_eff=R0(1−v). El umbral ideal de inmunidad colectiva sigue de R_eff<1: v_c=1−1/R0.

Fórmulas principales

Ṡ = −βSI, İ = βSI − γI, Ṙ = γI
R_eff = R0(1−v), umbral colectivo v_c = 1 − 1/R0

Preguntas frecuentes

¿Qué es el umbral de inmunidad colectiva?
En el SIR homogéneo es la fracción inmune v_c = 1 − 1/R0 con la que R_eff cae por debajo de uno y el brote no se sostiene. Para R0 = 3 el umbral es 2/3. Es un promedio poblacional, no una garantía de cero introducciones.
¿Por qué la vacunación reduce R_eff?
Los vacunados salen del conjunto de blancos posibles de la transmisión. Si la cobertura es v, la fracción de susceptibles al inicio es 1 − v, de modo que R_eff = R0(1 − v).
¿El umbral garantiza que no habrá casos?
No. Es la condición para que el número medio de casos secundarios sea menor que uno. Las introducciones, los contactos heterogéneos y los conglomerados de no vacunados igual pueden dar brotes locales.