O que é o limiar de imunidade coletiva?

No SIR homogêneo é a fração imune v_c = 1 − 1/R0 com a qual R_eff cai abaixo de um e o surto não se sustenta. Para R0 = 3 o limiar é 2/3. É uma média populacional, não uma garantia de zero introduções.

Por que a vacinação reduz R_eff?

Os vacinados saem do conjunto de alvos possíveis da transmissão. Se a cobertura é v, a fração de suscetíveis no início é 1 − v, de modo que R_eff = R0(1 − v).

O limiar garante que não haverá casos?

Não. É a condição para que o número médio de casos secundários seja menor que um. Introduções, contatos heterogêneos e agrupamentos de não vacinados ainda podem dar surtos locais.

Limiar de vacinação no modelo SIR

Limiar de imunidade coletiva: R_eff = R0(1−v), surtos SIR, pico de infectados e tamanho final conforme a cobertura vacinal.

Os vacinados começam em R. O limiar é uma idealização de população homogênea, não uma garantia contra surtos agrupados.

Gráficos

Sobre o modelo

O limiar de vacinação no modelo SIR: a epidemia não se sustenta se a fração imune é grande o bastante — o número médio de contágios secundários cai abaixo de um. Os vacinados estão, desde t = 0, na classe de imunes R; para o restante valem as equações usuais — contágio βSI, recuperação γI. O número reprodutivo efetivo é R_eff = R0(1 − v); o limiar de imunidade coletiva é v_c = 1 − 1/R0. Nos gráficos aparecem as frações S, I, R e o tamanho final do surto em função da cobertura: acima do limiar o surto não se desenvolve; abaixo restam o pico de infectados e a fração que já adoeceu. A população é homogênea e a vacina protege por completo.

Para quem: Epidemiologia e biologia matemática: modelo SIR, imunidade coletiva, cobertura vacinal.

Conceitos-chave

modelo SIR
imunidade coletiva
número reprodutivo efetivo
número reprodutivo básico
tamanho final do surto
cobertura vacinal

Como funciona

No modelo SIR a vacinação passa de imediato a fração v à classe de imunes. Então a fração de suscetíveis cai para 1−v e o número reprodutivo efetivo fica R_eff=R0(1−v). O limiar ideal de imunidade coletiva segue de R_eff<1: v_c=1−1/R0.

Fórmulas principais

Ṡ = −βSI, İ = βSI − γI, Ṙ = γI

R_eff = R0(1−v), limiar coletivo v_c = 1 − 1/R0

Perguntas frequentes

O que é o limiar de imunidade coletiva?: No SIR homogêneo é a fração imune v_c = 1 − 1/R0 com a qual R_eff cai abaixo de um e o surto não se sustenta. Para R0 = 3 o limiar é 2/3. É uma média populacional, não uma garantia de zero introduções.
Por que a vacinação reduz R_eff?: Os vacinados saem do conjunto de alvos possíveis da transmissão. Se a cobertura é v, a fração de suscetíveis no início é 1 − v, de modo que R_eff = R0(1 − v).
O limiar garante que não haverá casos?: Não. É a condição para que o número médio de casos secundários seja menor que um. Introduções, contatos heterogêneos e agrupamentos de não vacinados ainda podem dar surtos locais.

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