Was ist die Schwelle der Herdenimmunität?

Im homogenen SIR-Modell der Anteil Immuner v_c = 1 − 1/R0, bei dem R_eff unter eins fällt und sich der Ausbruch nicht trägt. Für R0 = 3 ist die Schwelle 2/3. Das ist ein Mittel über die Population, keine Garantie gegen einzelne Einschleppungen.

Warum senkt Impfung R_eff?

Geimpfte fallen als mögliche Ziele der Übertragung aus. Ist die Impfquote gleich v, beträgt der Anteil Empfänglicher zu Beginn 1 − v, daher R_eff = R0(1 − v).

Garantiert die Schwelle, dass keine Fälle auftreten?

Nein. Es ist die Bedingung, unter der die mittlere Zahl sekundärer Fälle kleiner als eins ist. Einschleppungen, ungleiche Kontakte und Häufungen Ungeimpfter können trotzdem lokale Ausbrüche geben.

Impfschwelle im SIR-Modell

Schwelle der Herdenimmunität: R_eff = R0(1−v), SIR-Ausbrüche, Maximum der Infizierten und Endgröße bei unterschiedlicher Impfquote.

Geimpfte starten in R. Die Schwelle ist eine Idealisierung für eine homogene Population, keine Garantie gegen lokale Ausbrüche in Häufungen Ungeimpfter.

Diagramme

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Die Impfschwelle im SIR-Modell ist der Anteil Immuner, ab dem sich eine Epidemie nicht mehr trägt: die mittlere Zahl sekundärer Infektionen fällt unter eins. Geimpfte liegen ab t = 0 in der Klasse der Immunen R; für die Übrigen gelten die üblichen Gleichungen — Infektion βSI, Genesung γI. Die effektive Reproduktionszahl ist R_eff = R0(1 − v), die Schwelle der Herdenimmunität v_c = 1 − 1/R0. In den Grafiken: Anteile S, I, R und die Endgröße des Ausbruchs als Funktion der Impfquote: oberhalb der Schwelle entwickelt sich kein Ausbruch, darunter bleiben Maximum der Infizierten und Anteil der Durchseuchten. Die Population ist homogen, der Impfstoff schützt vollständig.

Für wen: Epidemiologie und mathematische Biologie: SIR-Modell, Herdenimmunität, Impfquote.

Wichtige Begriffe

SIR-Modell
Herdenimmunität
effektive Reproduktionszahl
Basisreproduktionszahl
Endgröße des Ausbruchs
Impfquote

So funktioniert es

Im SIR-Modell überführt Impfung sofort den Anteil v in die Klasse der Immunen. Der Anteil Empfänglicher sinkt damit auf 1−v, und die effektive Reproduktionszahl wird R_eff=R0(1−v). Die ideale Schwelle der Herdenimmunität folgt aus R_eff<1: v_c=1−1/R0.

Wichtige Gleichungen

Ṡ = −βSI, İ = βSI − γI, Ṙ = γI

R_eff = R0(1−v), Schwelle der Herdenimmunität v_c = 1 − 1/R0

Häufige Fragen

Was ist die Schwelle der Herdenimmunität?: Im homogenen SIR-Modell der Anteil Immuner v_c = 1 − 1/R0, bei dem R_eff unter eins fällt und sich der Ausbruch nicht trägt. Für R0 = 3 ist die Schwelle 2/3. Das ist ein Mittel über die Population, keine Garantie gegen einzelne Einschleppungen.
Warum senkt Impfung R_eff?: Geimpfte fallen als mögliche Ziele der Übertragung aus. Ist die Impfquote gleich v, beträgt der Anteil Empfänglicher zu Beginn 1 − v, daher R_eff = R0(1 − v).
Garantiert die Schwelle, dass keine Fälle auftreten?: Nein. Es ist die Bedingung, unter der die mittlere Zahl sekundärer Fälle kleiner als eins ist. Einschleppungen, ungleiche Kontakte und Häufungen Ungeimpfter können trotzdem lokale Ausbrüche geben.

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