Warum gibt es zwei Punkte K und K′?

Die hexagonale Brillouin-Zone hat zwei inäquivalente Ecken, die durch Inversion verbunden sind. Bei Δ = 0 liegt in jeder ein linearer Bandkreuzungspunkt.

Was öffnet die Bandlücke?

Die Verschiebung der Untergitterenergien ε_A = −Δ, ε_B = +Δ. In den Punkten K und K′, wo |φ| = 0 ist, beträgt die Lücke 2Δ und hängt nicht von τ ab.

Die Summe der Phasenfaktoren der drei Transfers zwischen A und B; ihr Betrag setzt die Bandaufspaltung abseits von K.

Wie genau ist das für reales Graphen?

Qualitativ. Man braucht angepasste τ und a ≈ 1,42 Å sowie Verzerrung und Wechselwirkungen; hier das kanonische Zweiband-Dirac-Modell.

Bandstruktur von Graphen

Honigwabengitter, π/π*-Bänder entlang Γ–M–K–Γ, Dirac-Kegel in den Punkten K und K′ bei Δ = 0, Lücke 2Δ durch Untergitterverschiebung und Karte E(k) in der Brillouin-Zone.

Zum Modell

Die niederenergetische Bandstruktur von Graphen beschreibt man in der Näherung der starken Bindung auf dem Honigwabengitter mit den Untergittern A und B. Für die Vektoren zu den nächsten Nachbarn (0, a) und (±√3 a/2, −a/2) verschwindet der Strukturfaktor φ(k) = e^{i a k_y} + 2 e^{−i a k_y/2} cos(√3 a k_x/2) in den Punkten K und K′ und liefert lineare Bänder E_±(k) = ±√(Δ² + τ²|φ(k)|²) bei Untergitterenergien ±Δ. Bei Δ = 0 berühren sich die Dirac-Kegel, v_F ≈ (3/2)τa; bei endlichem Δ öffnet sich in K und K′ eine Lücke 2Δ. Auf dem Bildschirm E(k) entlang Γ → M → K → Γ, die Karte des π-Bandes in der ersten Brillouin-Zone und die Punkte K, K′. Zweiband-π-Modell ohne Transfer zu übernächsten Nachbarn, trigonale Verzerrung und Spin-Bahn-Kopplung.

Für wen: Höhere Semester der Festkörperphysik nach dem Bloch-Theorem.

Wichtige Begriffe

Graphen
Honigwabengitter
Näherung der starken Bindung
Dirac-Kegel
Brillouin-Zone
Bandlücke
Fermi-Geschwindigkeit

So funktioniert es

Honigwabengitter, π-Hamilton-Operator der starken Bindung: φ(k) = e^{i a k_y} + 2 e^{−i a k_y/2} cos(√3 a k_x/2); E_± = ±√(Δ² + τ²|φ|²). In den Punkten K und K′ ist |φ| = 0: bei Δ = 0 lineare Dirac-Kegel, v_F ≈ (3/2)τa; bei Δ ≠ 0 die Lücke 2Δ. Pfad Γ–M–K–Γ und Karte des π-Bandes in der ersten Brillouin-Zone.

Häufige Fragen

Warum gibt es zwei Punkte K und K′?: Die hexagonale Brillouin-Zone hat zwei inäquivalente Ecken, die durch Inversion verbunden sind. Bei Δ = 0 liegt in jeder ein linearer Bandkreuzungspunkt.
Was öffnet die Bandlücke?: Die Verschiebung der Untergitterenergien ε_A = −Δ, ε_B = +Δ. In den Punkten K und K′, wo |φ| = 0 ist, beträgt die Lücke 2Δ und hängt nicht von τ ab.
Was ist φ(k)?: Die Summe der Phasenfaktoren der drei Transfers zwischen A und B; ihr Betrag setzt die Bandaufspaltung abseits von K.
Wie genau ist das für reales Graphen?: Qualitativ. Man braucht angepasste τ und a ≈ 1,42 Å sowie Verzerrung und Wechselwirkungen; hier das kanonische Zweiband-Dirac-Modell.

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