Гауссов волновой пакет
Гауссов волновой пакет является фундаментальной моделью локализованной квантовой частицы в свободном пространстве. Этот симулятор визуализирует эволюцию такого пакета во времени, описываемую временным уравнением Шрёдингера. Начальное состояние представляет собой гауссов пакет с минимальной неопределённостью, определяемый начальной шириной σ₀ и средним волновым числом k₀. Основная демонстрируемая физика — это дисперсия волнового пакета: даже в отсутствие потенциала пакет со временем расплывается в координатном пространстве. Это прямое следствие волновой природы квантовых частиц и дисперсионного соотношения для свободных частиц, E = p²/2m, которое квадратично связывает энергию с импульсом. Различные фурье-компоненты (состояния с определённым импульсом) внутри пакета движутся с разными фазовыми скоростями, что приводит к его уширению. Симулятор вычисляет зависящую от времени ширину по формуле σ(t) = σ₀ √(1 + (ħt / (2mσ₀²))²), используя упрощение ħ = m = 1. Студенты могут изменять начальную ширину и импульс, чтобы наблюдать их существенное влияние на скорость расплывания и групповую скорость. Ключевые изучаемые концепции включают принцип неопределённости Гейзенберга (Δx Δp ≥ ħ/2), различие между фазовой и групповой скоростью, а также то, как состояние с определённым импульсом (плоская волна) имеет бесконечную неопределённость координаты и не расплывается, в то время как локализованный пакет должен иметь неопределённость импульса и, следовательно, неизбежно диспергирует.
Для кого: Студенты бакалавриата, изучающие вводный курс квантовой механики или современной физики, а также преподаватели, желающие визуализировать динамику волновых пакетов и квантовую неопределённость.
Ключевые понятия
- Волновой пакет
- Уравнение Шрёдингера
- Принцип неопределённости
- Расплывание волнового пакета
- Дисперсионное соотношение
- Групповая скорость
- Преобразование Фурье
- Гауссова функция
Как это работает
Более узкая начальная локализация означает более широкий разброс по импульсам, поэтому волновая функция расплывается. Зелёные пунктирные линии отмечают ±σ как примерный ориентир ширины.
Часто задаваемые вопросы
- Почему волновой пакет расплывается, даже если на него не действует сила?
- Расплывание вызвано не силой, а дисперсией — волновым явлением. Пакет представляет собой суперпозицию плоских волн с разными импульсами. Для свободной частицы фазовая скорость зависит от импульса (v_phase = p/2m). Эти компоненты со временем расходятся, интерферируя деструктивно на краях и уширяя распределение пакета в координатном пространстве. Это свойство присуще волновому описанию материи.
- Что означает, что в симуляторе установлено ħ = m = 1?
- Это распространённое в вычислительной физике упрощение, известное как использование 'естественных единиц'. Оно убирает физические константы из уравнений, делая математику чище и позволяя сосредоточиться на функциональных зависимостях. Все результаты представлены в этих масштабированных единицах. Чтобы связать их с реальной системой, необходимо подставить реальные значения ħ и массы частицы.
- Как начальный импульс (k₀) связан с движением частицы?
- Параметр k₀ (волновое число) связан со средним импульсом пакета: ⟨p⟩ = ħk₀. Он определяет групповую скорость, v_group = ħk₀/m, то есть скорость, с которой движется максимум пакета. Большее значение k₀ означает более быстрое движение пакета, но не останавливает его расплывание, которое определяется *неопределённостью* импульса (шириной пакета в импульсном пространстве).
- Может ли волновой пакет когда-либо перестать расплываться?
- Свободный гауссов волновой пакет никогда не перестаёт расплываться; его ширина σ(t) неограниченно возрастает. Однако расплывание можно остановить или обратить вспять с помощью внешнего потенциала, такого как потенциал гармонического осциллятора, который создаёт возвращающую силу и может порождать стабильные, недиспергирующие волновые пакеты (когерентные состояния). Данный симулятор моделирует свободное пространство, где такого потенциала нет.
Ещё из «Химия»
Другие симуляторы в этой категории — или все 16.
Уравнение Нернста
E = E° − (RT/nF) ln Q: ползунки для E°, n, T и коэффициента реакции.
Буферный раствор
Уравнение Гендерсона–Гассельбальха против сильной кислоты: кривая pH по мере добавления H⁺ (модель молей).
Модель Грея–Скотта: Образование паттернов
Реакционно-диффузионная система для u, v; паттерны: кораллы / митоз / черви / спирали; параметры: D_u, D_v, Δt.
Свободная энергия Гиббса
ΔG = ΔH − TΔS; знак и самопроизвольность при постоянных p,T (без Q или K).
Элементарная ячейка: ПК / ОЦК / ГЦК
Обычные кубические ячейки; проекция с изменением углов рыскания и тангажа — узлы решётки до детализации базиса.
Последовательный опыт Штерна–Герлаха
Два прибора ШГ: P(вверх на SG₂) = cos²(θ/2) или sin²(θ/2) после фильтра |±z⟩.