Warum hängt die Geschwindigkeit im Flachwasser nicht von der Wellenlänge ab?

Im Flachwasserlimit begrenzt der Boden die Vertikalbewegung. Die rücktreibende Schwerkraft langer Wellen hängt dann nicht mehr von λ ab, das System wird dispersionsfrei: alle solchen Wellen laufen mit derselben Phasengeschwindigkeit c = √(gh). Deshalb laufen Tsunamis im offenen Ozean (dort sind sie bereits Flachwasserwellen) weit, ohne sich stark zu zerlegen.

Wann braucht man die volle Beziehung statt der Tief- und Flachwassergrenzen?

Das volle ω² = gk tanh(kh) braucht man auf mittleren Tiefen, wenn h mit der Wellenlänge vergleichbar ist: Schelf, Küstenmeer. Dort verbindet die Kurve glatt die Asymptoten von Tief- und Flachwasser.

Wie liest man aus dem Diagramm ω(k) die Gruppengeschwindigkeit?

Die Gruppengeschwindigkeit ist die Steigung: c_g = dω/dk. Im Tiefwasser gilt c_g = c_p/2. Im Flachwasser ist ω linear in k, die Steigung konstant, daher c_g = c_p = √(gh). Auf der vollen Kurve ändert sich die Steigung mit kh.

Passt das Modell für Kräuselwellen und Kapillarwellen?

Nein: die Oberflächenspannung fehlt, und für kurze Wellen (gewöhnlich kürzer als einige Zentimeter) ist sie maßgebend. Bei Kapillarwellen steht in der Dispersion ein Glied ~k³. Hier nur Schwerewellen — Dünung, Tsunami, gewöhnliche Wasserwelle.

Dispersion von Wasserwellen ω(k)

Schwerewellen auf Wasser: Flachwassergrenze ω = k√(gh), Tiefwasser ω = √(gk) und die volle Beziehung ω² = gk tanh(kh).

Zum Modell

Die Dispersion von Wasserwellen ist die Abhängigkeit der Phasengeschwindigkeit von der Wellenlänge. Für Oberflächen-Schwerewellen liefert die lineare Theorie ω² = gk tanh(kh), wobei g die Erdbeschleunigung, h die Tiefe und k die Wellenzahl ist. Im Tiefwasser (kh ≫ 1) gilt tanh(kh) → 1 und ω² = gk: lange Wellen laufen schneller als kurze. Im Flachwasser (kh ≪ 1) gilt tanh(kh) ≈ kh, also ω = k√(gh): alle langen Wellen haben dieselbe Geschwindigkeit √(gh), Dispersion fehlt. Im Diagramm ω(k) drei Kurven — die volle Lösung und zwei Asymptoten; die Tiefe lässt sich ändern, und man sieht, wie die volle Kurve von einer Grenze zur anderen übergeht. Vereinfachungen: ideale nichtviskose Flüssigkeit, kleine Amplitude, ebener Boden, ohne Oberflächenspannung.

Für wen: Hydrodynamik und Wellenmechanik im Studium: Dispersion, Phasen- und Gruppengeschwindigkeit.

Wichtige Begriffe

Dispersionsrelation
Kreisfrequenz
Wellenzahl
Phasengeschwindigkeit
Gruppengeschwindigkeit
Flachwassernäherung
Tiefwasserwellen
hyperbolischer Tangens

So funktioniert es

Die Dispersion verknüpft die Kreisfrequenz ω mit der Wellenzahl k. Im Flachwasser (λ ≫ h) gilt ω ≈ k√(gh) — linear in k, Phasengeschwindigkeit √(gh) fast ohne Dispersion. Im Tiefwasser (λ ≪ h) gilt ω ≈ √(gk) — dispersives Gesetz. Die volle Kurve ω² = g k tanh(kh) hat diese zwei Grenzen als Asymptoten bei kleinem und großem kh.

Wichtige Gleichungen

ω² = g k tanh(kh) → tief: tanh→1 · flach: tanh→kh

Häufige Fragen

Warum hängt die Geschwindigkeit im Flachwasser nicht von der Wellenlänge ab?: Im Flachwasserlimit begrenzt der Boden die Vertikalbewegung. Die rücktreibende Schwerkraft langer Wellen hängt dann nicht mehr von λ ab, das System wird dispersionsfrei: alle solchen Wellen laufen mit derselben Phasengeschwindigkeit c = √(gh). Deshalb laufen Tsunamis im offenen Ozean (dort sind sie bereits Flachwasserwellen) weit, ohne sich stark zu zerlegen.
Wann braucht man die volle Beziehung statt der Tief- und Flachwassergrenzen?: Das volle ω² = gk tanh(kh) braucht man auf mittleren Tiefen, wenn h mit der Wellenlänge vergleichbar ist: Schelf, Küstenmeer. Dort verbindet die Kurve glatt die Asymptoten von Tief- und Flachwasser.
Wie liest man aus dem Diagramm ω(k) die Gruppengeschwindigkeit?: Die Gruppengeschwindigkeit ist die Steigung: c_g = dω/dk. Im Tiefwasser gilt c_g = c_p/2. Im Flachwasser ist ω linear in k, die Steigung konstant, daher c_g = c_p = √(gh). Auf der vollen Kurve ändert sich die Steigung mit kh.
Passt das Modell für Kräuselwellen und Kapillarwellen?: Nein: die Oberflächenspannung fehlt, und für kurze Wellen (gewöhnlich kürzer als einige Zentimeter) ist sie maßgebend. Bei Kapillarwellen steht in der Dispersion ein Glied ~k³. Hier nur Schwerewellen — Dünung, Tsunami, gewöhnliche Wasserwelle.

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