2D wave equation (membrane)
Двумерное волновое уравнение на натянутой мембране, u_tt = c²∇²u с закреплённым краем, описывает барабан, мембрану громкоговорителя и тонкую пластину в приближении без изгибной жёсткости. Собственные моды — стоячие волны с узловыми линиями (аналог фигур Хладни); на круге радиальная структура связана с нулями функций Бесселя, на прямоугольнике — с произведениями синусов. Частоты зависят от геометрии, натяжения и поверхностной плотности. Симулятор обычно суперпозирует моды или интегрирует уравнение, опуская демпфирование, нелинейное натяжение и акустическую нагрузку воздуха. Студенты сравнивают спектр мембраны со струной и видят, почему обертоны барабана не кратны основному тону.
Для кого: Волновая физика и УРЧП после одномерной струны; подготовка к полной теории пластин.
Ключевые понятия
- Волновое уравнение
- Мембрана
- Собственные моды
- Узловые линии
- Фигуры Хладни
- Функции Бесселя
- Граничные условия
- Суперпозиция
Как это работает
u_tt = c²∇²u на мембране с закреплённым краем даёт 2D стоячие моды с узловыми линиями; на круге появляются радиальные узлы функций Бесселя, на прямоугольнике — декартовы моды.
Часто задаваемые вопросы
- Почему у барабана обертоны не гармоники?
- Собственные частоты круга задаются нулями Bessel J_m, их отношения не целые, в отличие от гармоник струны с закреплёнными концами.
- Учитывается ли жёсткость пластины?
- В базовой мембранной модели нет; жёсткость добавляет член с бигармоническим оператором и меняет спектр.
- Что означает закреплённый край?
- Перемещение u = 0 на контуре — аналог закреплённых концов струны.
- Связь со страницей цимбал-пластины?
- Та же идея 2D стоячих волн; отличия в геометрии и акценте на визуализации мод.
Ещё из «Волны и звук»
Другие симуляторы в этой категории — или все 35.
Акустическая левитация (Схема)
Стоячая волна cos(kx)cos(ωt); отмечены узлы давления; схематичное изображение шарика вблизи узла.
Акустическая фазированная решётка (линейная)
N источников, шаг d/λ и фазовый градиент: управление направлением «луча» звука/гидролокации (множитель решётки).
Фигуры Хладни
Мода пластины sin(mπx)sin(nπy); контраст узлов + дрейф частиц к узлам (модель).
Киматика: Круглая мембрана
Собственные моды барабана J_m(k_{mn}r) cos(mθ); угловое число m, радиальное n, мерцание.
Эхо и Эхолот
Время прохождения туда и обратно t = 2d/v; импульс к стене и обратно с регулируемой скоростью звука.
Скорость волны: струна и стержень
v = √(T/μ) для струны и v ≈ √(E/ρ) для продольных волн в стержне.