¿Por qué en un tambor los sobretonos no son armónicos?

Las frecuencias propias de una membrana circular las fijan los ceros de las funciones de Bessel J_m. Sus razones no son enteras, a diferencia de los armónicos de una cuerda con los extremos fijos.

¿Se tiene en cuenta la rigidez de una placa?

En el modelo de membrana, no. La rigidez a la flexión añade un término con el operador biarmónico y cambia el espectro: eso ya es una placa, no una membrana.

¿Qué significa un borde fijo?

El desplazamiento u = 0 en el contorno — el análogo de los extremos fijos de una cuerda. Del borde dependen las frecuencias propias y el dibujo de las líneas nodales.

¿Por qué en el rectángulo los modos son productos de senos?

Con u = 0 en los lados del rectángulo se separan las variables: X(x)Y(y), y cada lado da un seno con un número entero de semiondas. En el círculo la separación va en coordenadas polares: de ahí Bessel.

2D wave equation (membrane)

Esquema explícito en un rectángulo con el borde fijo: pulso gaussiano, frentes circulares, reflexiones en los bordes.

Sobre el modelo

Las oscilaciones transversales de una membrana tensa las describe la ecuación de ondas en dos dimensiones u_tt = c²∇²u. En un rectángulo con el borde fijo (u = 0 en el contorno), un esquema explícito muestra cómo se abre un pulso gaussiano, los frentes circulares y las reflexiones en los bordes. Los modos propios son ondas estacionarias con líneas nodales: en el rectángulo, productos de senos; en el círculo, la estructura radial va con los ceros de las funciones de Bessel (figuras de Chladni). Las frecuencias dependen de la geometría, de la tensión y de la densidad superficial; los sobretonos de un tambor, a diferencia de la cuerda, no son múltiplos del tono fundamental. Simplificaciones: no hay amortiguamiento, ni tensión no lineal, ni carga acústica del aire.

Para quién: Ondas y ecuaciones en derivadas parciales después de la cuerda: modos de una membrana, figuras de Chladni.

Conceptos clave

ecuación de ondas
membrana
modos propios
líneas nodales
figuras de Chladni
funciones de Bessel
condiciones de frontera

Cómo funciona

En una membrana con el borde fijo, u_tt = c²∇²u. Un pulso gaussiano da frentes circulares y reflexiones; los modos propios son ondas estacionarias con líneas nodales. En el rectángulo, productos cartesianos de senos; en el círculo, nodos radiales de las funciones de Bessel. Los sobretonos de un tambor no son múltiplos del fundamental, a diferencia de la cuerda.

Preguntas frecuentes

¿Por qué en un tambor los sobretonos no son armónicos?: Las frecuencias propias de una membrana circular las fijan los ceros de las funciones de Bessel J_m. Sus razones no son enteras, a diferencia de los armónicos de una cuerda con los extremos fijos.
¿Se tiene en cuenta la rigidez de una placa?: En el modelo de membrana, no. La rigidez a la flexión añade un término con el operador biarmónico y cambia el espectro: eso ya es una placa, no una membrana.
¿Qué significa un borde fijo?: El desplazamiento u = 0 en el contorno — el análogo de los extremos fijos de una cuerda. Del borde dependen las frecuencias propias y el dibujo de las líneas nodales.
¿Por qué en el rectángulo los modos son productos de senos?: Con u = 0 en los lados del rectángulo se separan las variables: X(x)Y(y), y cada lado da un seno con un número entero de semiondas. En el círculo la separación va en coordenadas polares: de ahí Bessel.

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