Почему скорость волн на мелкой воде не зависит от длины волны?

В пределе мелкой воды вертикальное движение ограничено дном. Возвращающая сила тяжести для длинных волн перестаёт зависеть от λ, и система становится недиспергирующей: все такие волны идут с одной фазовой скоростью c = √(gh). Поэтому цунами в открытом океане (там они уже волны мелкой воды) уходят далеко почти не расплываясь.

Когда нужно полное соотношение, а не пределы глубокой и мелкой воды?

Полное ω² = gk tanh(kh) нужно на промежуточных глубинах, когда h сравнима с длиной волны: шельф, прибрежная зона. Там кривая плавно соединяет асимптоты глубокой и мелкой воды.

Как с графика ω(k) прочитать групповую скорость?

Групповая скорость — наклон: c_g = dω/dk. На глубокой воде c_g = c_p/2. На мелкой вода линейна, наклон постоянен, поэтому c_g = c_p = √(gh). На полной кривой наклон меняется с kh.

Подходит ли модель для ряби и капиллярных волн?

Нет: поверхностное натяжение не учтено, а для коротких волн (обычно короче нескольких сантиметров) оно главное. У капиллярных волн в дисперсию входит член ~k³. Здесь только гравитационные волны — зыбь, цунами, обычная волна на воде.

Дисперсия волн на воде ω(k)

Гравитационные волны на воде: пределы мелкой воды ω = k√(gh), глубокой ω = √(gk) и полное соотношение ω² = gk tanh(kh).

О модели

Дисперсия волн на воде — зависимость фазовой скорости от длины волны. Для поверхностных гравитационных волн линейная теория даёт ω² = gk tanh(kh), где g — ускорение свободного падения, h — глубина, k — волновое число. На глубокой воде (kh ≫ 1) tanh(kh) → 1 и ω² = gk: длинные волны бегут быстрее коротких. На мелкой воде (kh ≪ 1) tanh(kh) ≈ kh, откуда ω = k√(gh): все длинные волны идут с одной скоростью √(gh), дисперсии нет. На графике ω(k) три кривые — полное решение и два асимптотических предела; глубину можно менять и смотреть, как полная кривая переходит от одного предела к другому. Упрощения: идеальная невязкая жидкость, волны малой амплитуды, плоское дно, без поверхностного натяжения.

Для кого: Вузовская гидродинамика и механика волн: дисперсия, фазовая и групповая скорость.

Ключевые понятия

дисперсионное соотношение
угловая частота
волновое число
фазовая скорость
групповая скорость
приближение мелкой воды
волны на глубокой воде
гиперболический тангенс

Как это работает

Дисперсия связывает угловую частоту ω и волновое число k. На мелкой воде (λ ≫ h) ω ≈ k√(gh) — линейно по k, фазовая скорость √(gh) почти без дисперсии. На глубокой воде (λ ≪ h) ω ≈ √(gk) — диспергирующий закон. Полная кривая ω² = g k tanh(kh) имеет эти два предела как асимптоты при малых и больших kh.

Основные формулы

ω² = g k tanh(kh) → глубоко: tanh→1 · мелко: tanh→kh

Часто задаваемые вопросы

Почему скорость волн на мелкой воде не зависит от длины волны?: В пределе мелкой воды вертикальное движение ограничено дном. Возвращающая сила тяжести для длинных волн перестаёт зависеть от λ, и система становится недиспергирующей: все такие волны идут с одной фазовой скоростью c = √(gh). Поэтому цунами в открытом океане (там они уже волны мелкой воды) уходят далеко почти не расплываясь.
Когда нужно полное соотношение, а не пределы глубокой и мелкой воды?: Полное ω² = gk tanh(kh) нужно на промежуточных глубинах, когда h сравнима с длиной волны: шельф, прибрежная зона. Там кривая плавно соединяет асимптоты глубокой и мелкой воды.
Как с графика ω(k) прочитать групповую скорость?: Групповая скорость — наклон: c_g = dω/dk. На глубокой воде c_g = c_p/2. На мелкой вода линейна, наклон постоянен, поэтому c_g = c_p = √(gh). На полной кривой наклон меняется с kh.
Подходит ли модель для ряби и капиллярных волн?: Нет: поверхностное натяжение не учтено, а для коротких волн (обычно короче нескольких сантиметров) оно главное. У капиллярных волн в дисперсию входит член ~k³. Здесь только гравитационные волны — зыбь, цунами, обычная волна на воде.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 37 в «Волны и звук».

Вся категория →

НовоеШкольные

Групповая и фазовая скорость

Запустить симулятор

Биения двух волн при дисперсии ω(k) = ck + αk²: огибающая идёт со скоростью v_g = Δω/Δk, гребни — с v_p = ω̄/k̄.

НовоеШкольные

Кильватерный след Кельвина

Запустить симулятор

V-образный след на глубокой воде: лучи под углом arcsin(1/3) ≈ 19,47° к курсу с каждой стороны; угол не зависит от скорости судна.

НовоеШкольные

Волновой пакет и дисперсия

Запустить симулятор

Суперпозиция cos(kx − ωt); ω = ck + αk²; расплывание пакета по сравнению с волной на струне.

НовоеШкольные

Акустическая левитация

Запустить симулятор

Стоячая волна P ∝ cos(kx)cos(ωt); узлы давления; шарик у узла — схема, не трёхмерная ловушка.

ПопулярноеШкольные

Волна на струне

Запустить симулятор

Поперечная волна на струне: возбуждение одного конца, отражения и почти стоячие картины вблизи резонанса.

НовоеШкольные

Эффект Доплера

Запустить симулятор

Движущийся источник звука: сжатие фронтов впереди, растяжение сзади и изменение высоты тона у неподвижного наблюдателя.

Дисперсия волн на воде ω(k)

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы

Похожие симуляторы

Групповая и фазовая скорость

Кильватерный след Кельвина

Волновой пакет и дисперсия

Акустическая левитация

Волна на струне

Эффект Доплера

Дисперсия волн на воде ω(k)

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы