Почему скорость волн на мелкой воде не зависит от длины волны?

В пределе мелкой воды вертикальное движение жидкости ограничено дном. Это ограничение делает возвращающую силу тяжести эффективно не зависящей от длины волны для длинных волн, что приводит к недиспергирующей системе. Все длинные волны распространяются с одинаковой фазовой скоростью c = √(gh), подобно звуковым волнам в воздухе. Именно поэтому цунами, являющиеся волнами на мелкой воде в открытом океане, перемещаются как когерентный волновой поезд на огромные расстояния.

Что представляет собой кривая 'полного решения', и когда её нужно использовать?

Полное решение ω² = gk tanh(kh) — это точное дисперсионное соотношение из линейной теории волн для постоянной глубины h. Его необходимо использовать для промежуточных глубин, где глубина воды сравнима с длиной волны (не очень велика и не очень мала по сравнению с ней). Это режим для большинства океанских волн на континентальном шельфе или в прибрежных районах. Симулятор показывает, как полная кривая плавно переходит между асимптотами для глубокой и мелкой воды.

Как групповая скорость связана с этим графиком?

Групповая скорость, которая определяет скорость переноса энергии волновым пакетом, представляет собой наклон дисперсионной зависимости: c_g = dω/dk. На графике ω(k) это производная в точке. В глубокой воде c_g равна половине фазовой скорости. В мелкой воде линейная зависимость означает, что наклон постоянен и равен фазовой скорости, поэтому c_g = c_p = √(gh). Изменяющийся наклон полного решения показывает, как групповая скорость меняется на промежуточных глубинах.

Применима ли эта модель к ряби от дождевой капли или капиллярным волнам?

Нет, эта модель не учитывает поверхностное натяжение, которое является доминирующей возвращающей силой для очень коротких длин волн (обычно менее нескольких сантиметров). Для таких капиллярных волн дисперсионное соотношение включает дополнительное слагаемое, пропорциональное k³. Данный симулятор предназначен специально для гравитационных волн, к которым относятся большинство океанских зыбей, цунами и обычных волн на воде.

Дисперсия волн на воде ω(k)

Мелкая вода k√(gh), глубокая вода √(gk), полное решение tanh(kh) — три кривые.

О модели

Волны на воде обладают фундаментальным свойством, называемым дисперсией, при котором их скорость зависит от длины волны. Этот симулятор визуализирует дисперсионное соотношение для поверхностных гравитационных волн, отображая зависимость угловой частоты (ω) от волнового числа (k). Основная физика описывается результатом линейной теории волн: ω² = gk * tanh(kh), где g — ускорение свободного падения, а h — глубина жидкости. Это единое уравнение объединяет два известных предельных случая. В глубокой воде (где kh велико, т.е. глубина >> длины волны) tanh(kh) стремится к 1, упрощая соотношение до ω² = gk. Здесь более длинные волны распространяются быстрее. На мелкой воде (где kh мало, т.е. глубина << длины волны) tanh(kh) приближается к kh, что приводит к ω² = gk²h или ω = k√(gh). Это даёт недиспергирующий режим, в котором все длинные волны движутся с одинаковой скоростью √(gh). Симулятор строит эти три кривые — полное решение с tanh и два его асимптотических предела — позволяя проводить прямое сравнение. Ключевые упрощения включают предположение об идеальной невязкой жидкости с волнами малой амплитуды (линейная теория), пренебрежение поверхностным натяжением (которое доминирует при очень малых длинах волн) и допущение о плоском горизонтальном дне. Взаимодействуя с графиком и изменяя параметры, такие как глубина, студенты учатся отличать диспергирующие режимы от недиспергирующих, понимать, как глубина контролирует переход между ними, и видеть, как вид функции ω(k) определяет расплывание волнового пакета, а также соотношение фазовой и групповой скорости.

Для кого: Студенты бакалавриата по физике или инженерии, изучающие гидродинамику, механику волн или геофизическую гидродинамику, а также преподаватели в этих областях.

Ключевые понятия

Дисперсионное соотношение
Угловая частота (ω)
Волновое число (k)
Фазовая скорость
Групповая скорость
Приближение мелкой воды
Волны на глубокой воде
Гиперболический тангенс (tanh)

Как это работает

Дисперсия связывает ω и k. Мелкая вода (λ ≫ h): ω ≈ k√(gh), линейно по k (недиспергирующая фазовая скорость √(gh)). Глубокая вода (λ ≪ h): ω ≈ √(gk) (диспергирующая). Жёлтая кривая — полное гравитационно-волновое соотношение ω² = g k tanh(k h) — глубоководный и мелководный случаи являются асимптотами для малых/больших kh.

Основные формулы

ω² = g k tanh(kh) → глубоко: tanh→1 · мелко: tanh→kh

Часто задаваемые вопросы

Почему скорость волн на мелкой воде не зависит от длины волны?: В пределе мелкой воды вертикальное движение жидкости ограничено дном. Это ограничение делает возвращающую силу тяжести эффективно не зависящей от длины волны для длинных волн, что приводит к недиспергирующей системе. Все длинные волны распространяются с одинаковой фазовой скоростью c = √(gh), подобно звуковым волнам в воздухе. Именно поэтому цунами, являющиеся волнами на мелкой воде в открытом океане, перемещаются как когерентный волновой поезд на огромные расстояния.
Что представляет собой кривая 'полного решения', и когда её нужно использовать?: Полное решение ω² = gk tanh(kh) — это точное дисперсионное соотношение из линейной теории волн для постоянной глубины h. Его необходимо использовать для промежуточных глубин, где глубина воды сравнима с длиной волны (не очень велика и не очень мала по сравнению с ней). Это режим для большинства океанских волн на континентальном шельфе или в прибрежных районах. Симулятор показывает, как полная кривая плавно переходит между асимптотами для глубокой и мелкой воды.
Как групповая скорость связана с этим графиком?: Групповая скорость, которая определяет скорость переноса энергии волновым пакетом, представляет собой наклон дисперсионной зависимости: c_g = dω/dk. На графике ω(k) это производная в точке. В глубокой воде c_g равна половине фазовой скорости. В мелкой воде линейная зависимость означает, что наклон постоянен и равен фазовой скорости, поэтому c_g = c_p = √(gh). Изменяющийся наклон полного решения показывает, как групповая скорость меняется на промежуточных глубинах.
Применима ли эта модель к ряби от дождевой капли или капиллярным волнам?: Нет, эта модель не учитывает поверхностное натяжение, которое является доминирующей возвращающей силой для очень коротких длин волн (обычно менее нескольких сантиметров). Для таких капиллярных волн дисперсионное соотношение включает дополнительное слагаемое, пропорциональное k³. Данный симулятор предназначен специально для гравитационных волн, к которым относятся большинство океанских зыбей, цунами и обычных волн на воде.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 37 в «Волны и звук».

Вся категория →

НовоеШкольные

Групповая и фазовая скорость

Запустить симулятор

Биения двух волн: ω(k)=ck+αk²; v_g=Δω/Δk и v_p=ω̄/k̄; огибающая и несущая волна.

НовоеШкольные

Кильватерный след Кельвина (угол раскрытия)

Запустить симулятор

Идеализованный глубоководный след: лучи под углом arcsin(1/3) ≈ 19,47° к курсу судна с каждой стороны.

НовоеШкольные

Волновой пакет и дисперсия

Запустить симулятор

Сложение cos(kx−ωt); ω = ck + αk²; расплывание в сравнении с моделью волны на струне.

НовоеШкольные

Акустическая левитация (Схема)

Запустить симулятор

Стоячая волна cos(kx)cos(ωt); отмечены узлы давления; схематичное изображение шарика вблизи узла.

ПопулярноеШкольные

Волна на струне

Запустить симулятор

Колебание одного конца, регулировка частоты и амплитуды. Стоячие волны и отражения.

НовоеШкольные

Эффект Доплера

Запустить симулятор

Движущийся источник с изменением высоты тона через Web Audio API. Видимое сжатие волновых фронтов.

Дисперсия волн на воде ω(k)

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы

Похожие симуляторы

Групповая и фазовая скорость

Кильватерный след Кельвина (угол раскрытия)

Волновой пакет и дисперсия

Акустическая левитация (Схема)

Волна на струне

Эффект Доплера

Дисперсия волн на воде ω(k)

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы