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Inicio/Ondas y sonido/Dispersión de ondas en el agua

Dispersión de ondas en el agua

Ondas de gravedad en el agua: límites de aguas poco profundas ω = k√(gh), de aguas profundas ω = √(gk) y la relación completa ω² = gk tanh(kh).

Agua

4 m
9.81 m/s²

Magnitudes medidas

√(gh)6.264 m/s (c en aguas poco profundas)
1/h (escala para k)0.250 m⁻¹
Indicación del régimenmás cerca del límite de aguas poco profundas

Sobre el modelo

La dispersión de las ondas en el agua es la dependencia de la velocidad de fase con la longitud de onda. Para ondas de gravedad en la superficie, la teoría lineal da ω² = gk tanh(kh), donde g es la aceleración de la gravedad, h la profundidad y k el número de onda. En aguas profundas (kh ≫ 1) tanh(kh) → 1 y ω² = gk: las ondas largas corren más rápido que las cortas. En aguas poco profundas (kh ≪ 1) tanh(kh) ≈ kh, de donde ω = k√(gh): todas las ondas largas van a la misma velocidad √(gh), sin dispersión. En la gráfica ω(k) hay tres curvas: la solución completa y los dos límites asintóticos; se puede cambiar la profundidad y ver cómo la curva completa pasa de un límite al otro. Simplificaciones: fluido ideal no viscoso, ondas de amplitud pequeña, fondo plano, sin tensión superficial.

Para quién: Hidrodinámica y mecánica de ondas de facultad: dispersión, velocidad de fase y de grupo.

Conceptos clave

  • relación de dispersión
  • frecuencia angular
  • número de onda
  • velocidad de fase
  • velocidad de grupo
  • aproximación de aguas poco profundas
  • ondas en aguas profundas
  • tangente hiperbólica

Cómo funciona

La dispersión relaciona la frecuencia angular ω con el número de onda k. En aguas poco profundas (λ ≫ h) ω ≈ k√(gh): lineal en k, velocidad de fase √(gh) casi sin dispersión. En aguas profundas (λ ≪ h) ω ≈ √(gk): ley dispersiva. La curva completa ω² = g k tanh(kh) tiene esos dos límites como asíntotas a kh pequeño y grande.

Fórmulas principales

ω² = g k tanh(kh) → profundo: tanh→1 · poco profundo: tanh→kh

Preguntas frecuentes

¿Por qué en aguas poco profundas la velocidad no depende de la longitud de onda?
En el límite de aguas poco profundas el movimiento vertical lo acota el fondo. La fuerza recuperadora de la gravedad, para ondas largas, deja de depender de λ y el sistema deja de ser dispersivo: todas esas ondas van a la misma velocidad de fase c = √(gh). Por eso un tsunami en mar abierto (allí ya es onda de aguas poco profundas) recorre grandes distancias casi sin ensancharse.
¿Cuándo hace falta la relación completa y no bastan los límites de aguas profundas y poco profundas?
La ω² = gk tanh(kh) completa hace falta a profundidades intermedias, cuando h es comparable con la longitud de onda: plataforma, zona costera. Allí la curva une con suavidad las asíntotas de aguas profundas y de aguas poco profundas.
¿Cómo se lee la velocidad de grupo en la gráfica ω(k)?
La velocidad de grupo es la pendiente: c_g = dω/dk. En aguas profundas c_g = c_p/2. En aguas poco profundas la curva es lineal, la pendiente es constante y por eso c_g = c_p = √(gh). En la curva completa la pendiente cambia con kh.
¿Sirve el modelo para rizos y ondas capilares?
No: no se tiene en cuenta la tensión superficial, y para ondas cortas (en general de pocos centímetros o menos) es lo principal. En las ondas capilares entra en la dispersión un término ~k³. Aquí solo hay ondas de gravedad: mar de leva, tsunami, oleaje habitual.