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Startseite/Optik und Licht/Photonischer Kristall (1D)

Photonischer Kristall (1D)

Wechsel n₁/n₂; TE-Transfermatrix T(λ), R(λ); Stoppbänder bei |Tr(M_period)/2| > 1 gegenüber der Periode Λ.

1D-photonischer Kristall

1.46
2.4
260 nm
180 nm
8
400 nm
1200 nm
800 nm

Stapel aus **TE**-Matrizen: Schichten **n₁,d₁** und **n₂,d₂**. **T,R** für endliches **N**; Stoppband, wenn **|Tr(M_period)/2|>1** (keine reelle Bloch-**k**).

Gemessene Größen

Periode Λ440 nm
T bei λ30.6 %
R bei λ69.4 %
Tr(M)/21.001 (gap)

Diagramme

Zum Modell

Photonischer Kristall (1D): ein periodischer Stapel aus Schichten mit den Brechungsindizes n₁, n₂ und den Dicken d₁, d₂. Für TE bei senkrechtem Einfall wird die Transfermatrix der Doppelschicht gebildet und auf die N-te Potenz erhoben; daraus folgen Transmission T(λ) und Reflexion R(λ) des endlichen Stapels in Luft. Für das unendliche Gitter gilt cos(kΛ) = (T₁₁ + T₂₂)/2: bei |cos| ≤ 1 erlaubte Bänder, bei |cos| > 1 eine photonische Bandlücke (keine reelle Bloch-Wellenzahl). Die Vorlage λ/4 gibt ein breites Band hoher Reflexion bei der Entwurfs-Wellenlänge. Absorption, Dispersion n(λ), Schrägeinfall und TM entfallen.

Für wen: Hochschul-Photonik nach der Interferenz in dünnen Schichten: photonische Bandlücke, Transfermatrix.

Wichtige Begriffe

  • photonischer Kristall
  • photonische Bandlücke
  • Transfermatrix
  • Bloch-Theorem
  • Bragg-Spiegel
  • Viertelwellenspiegel
  • Mehrschichtinterferenz

So funktioniert es

Die Parameter n₁, n₂, d₁, d₂ und N bestimmen die Transfermatrix und die Spektren T(λ) und R(λ). Rot markiert, wo |Tr(M)/2| > 1. Die Vorlage λ/4 zeigt einen typischen Bragg-Spiegel.

Wichtige Gleichungen

cos(kΛ) = (T₁₁+T₂₂)/2 · |·|>1 → Stoppband
TE-Schichtmatrix; Stapel M^N, Luft | Stapel | Luft

Häufige Fragen

Was ist eine photonische Bandlücke?
Ein Wellenlängenbereich, in dem |Tr(M)/2| > 1: es gibt keine reelle Bloch-Wellenzahl, im unendlichen Kristall keine ausgedehnten Moden.
Wozu der λ/4-Stapel?
Bei n₁ d₁ ≈ n₂ d₂ ≈ λ/4 addieren sich die Reflexionen an den Grenzen in Phase — ein breites Band hohen Reflexionsgrads (dielektrischer Bragg-Spiegel).
Wozu mehr Perioden N?
Mehr Perioden — schärfere Einbrüche in T und höheres R im Stoppband des endlichen Stapels.
Warum nur TE und senkrechter Einfall?
Dann ist die Transfermatrix skalar und anschaulich. Schrägeinfall, TM, Absorption und Defektmoden in der Lücke gehören nicht dazu.