Warum der Faktor 1,22 und nicht eine andere Zahl?

Das ist das Verhältnis der ersten Nullstelle von J₁ zu π: 3,8317…/π ≈ 1,22 für die Kreisöffnung. Am Spalt ist die Geometrie eine andere — sinc, kein Airy-Muster.

Addieren sich die Felder der zwei Quellen kohärent?

Nein: es addieren sich die Intensitäten, die Quellen sind inkohärent. So formuliert man das Rayleigh-Kriterium für unaufgelöste Sterne.

Airy-Scheibchen und Auflösung

Fraunhofer-Beugung an der Kreisöffnung: erster dunkler Ring und Auflösung zweier Punkte nach dem Rayleigh-Kriterium.

Zum Modell

Das Airy-Scheibchen entsteht bei Fraunhofer-Beugung an einer Kreisöffnung vom Durchmesser D: I(r) ∝ [2J₁(v)/v]², v = π D r/(λ L). Der erste dunkle Ring ist die erste Nullstelle der Besselfunktion J₁, v ≈ 3,8317, daher der Radius des Airy-Scheibchens r₁ ≈ 1,22 λL/D. Rayleigh-Kriterium für zwei inkohärente Punkte gleicher Helligkeit: Winkelabstand θ ≈ 1,22 λ/D — das Zentrum des einen fällt auf das erste Minimum des anderen. Auf dem Schirm ein oder zwei Bilder; der Abstand der Quellen steht in Einheiten von r₁. Die Intensitäten addieren sich (Inkohärenz); kohärente Interferenz zweier Sterne wird nicht gerechnet.

Für wen: Wellenoptik im Studium: Airy-Scheibchen, Auflösungsvermögen von Fernrohr und Mikroskop.

Wichtige Begriffe

Airy-Scheibchen
Besselfunktion
Fraunhofer-Beugung
Rayleigh-Kriterium
Winkelauflösung
Kreisöffnung

So funktioniert es

Fraunhofer-Beugung an einer Kreisöffnung ergibt das Airy-Muster: helle zentrale Scheibe und Ringe. Intensität I/I₀ = [2J₁(v)/v]², v = π D r/(λ L). Der erste dunkle Ring legt die Größe des Airy-Scheibchens fest. Rayleigh-Kriterium: kleinster Winkelabstand θ ≈ 1,22 λ/D für zwei inkohärente Punkte gleicher Helligkeit. Auf dem Schirm eine oder zwei Quellen, Abstand in Einheiten von r₁.

Wichtige Gleichungen

v = π D r / (λ L) · I ∝ [2J₁(v)/v]²

θ_Rayleigh ≈ 1,22 λ/D · r₁ ≈ 1,22 λL/D

Häufige Fragen

Warum der Faktor 1,22 und nicht eine andere Zahl?: Das ist das Verhältnis der ersten Nullstelle von J₁ zu π: 3,8317…/π ≈ 1,22 für die Kreisöffnung. Am Spalt ist die Geometrie eine andere — sinc, kein Airy-Muster.
Addieren sich die Felder der zwei Quellen kohärent?: Nein: es addieren sich die Intensitäten, die Quellen sind inkohärent. So formuliert man das Rayleigh-Kriterium für unaufgelöste Sterne.

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