Ist das dasselbe wie „der Strahl nimmt den kürzesten Weg“?

Im homogenen Medium fallen kürzester Weg und kürzeste Zeit zusammen. Bei verschiedenem n muss der kürzeste geometrische Weg nicht die kürzeste Zeit sein: extremal ist die optische Weglänge ∫ n ds.

Warum liefert das Minimum der optischen Weglänge das Brechungsgesetz?

Differenziert man OPL(P) nach der Koordinate des Punkts auf der Grenze, folgt n₁ sin θᵢ = n₂ sin θₜ. Derselbe Weg wie aus der Huygensschen Konstruktion oder aus den Randbedingungen für die Phase.

Was geschieht bei n₁ = n₂?

Das Minimum der OPL liegt auf der Geraden AB: kein Knick, Einfallswinkel gleich „Brechungswinkel“. Das ist geradlinige Ausbreitung im homogenen Medium.

Fermat-Prinzip

Optische Weglänge OPL = n₁AP + n₂PB über den Einfallspunkt; das Minimum ist der Weg nach dem Brechungsgesetz.

Diagramme

Zum Modell

Fermat-Prinzip: zwischen zwei Punkten nimmt das Licht den Weg, für den die Laufzeit (die optische Weglänge) stationär ist — meist ein Minimum. Die optische Weglänge OPL = n₁·AP + n₂·PB hängt vom Einfallspunkt P auf der ebenen Grenzfläche ab. Das Minimum von OPL(P) ist derselbe Weg wie nach dem Brechungsgesetz n₁ sin θᵢ = n₂ sin θₜ. Im homogenen Medium ergibt das eine Gerade; an der Grenze einen Knick. Man kann P verschieben und die eigene OPL mit dem Minimum vergleichen. Beugung und Inhomogenität innerhalb jeder der beiden Medien entfallen.

Für wen: Schul- und Hochschuloptik: Fermat-Prinzip und Brechungsgesetz.

Wichtige Begriffe

Fermat-Prinzip
optische Weglänge
Brechungsgesetz
Brechungsindex
geometrische Optik

So funktioniert es

Zwischen zwei Punkten in verschiedenen homogenen Medien, getrennt durch eine ebene Grenzfläche, wird der Strahl realisiert, für den die optische Weglänge n₁ℓ₁ + n₂ℓ₂ stationär ist (hier ein Minimum). Verschiebt man den Knickpunkt P, entsteht eine OPL-Kurve, deren Minimum mit dem Brechungsgesetz zusammenfällt.

Wichtige Gleichungen

OPL = n₁ |AP| + n₂ |PB| → min über P auf der Grenzfläche

⇒ n₁ sin θᵢ = n₂ sin θₜ

Häufige Fragen

Ist das dasselbe wie „der Strahl nimmt den kürzesten Weg“?: Im homogenen Medium fallen kürzester Weg und kürzeste Zeit zusammen. Bei verschiedenem n muss der kürzeste geometrische Weg nicht die kürzeste Zeit sein: extremal ist die optische Weglänge ∫ n ds.
Warum liefert das Minimum der optischen Weglänge das Brechungsgesetz?: Differenziert man OPL(P) nach der Koordinate des Punkts auf der Grenze, folgt n₁ sin θᵢ = n₂ sin θₜ. Derselbe Weg wie aus der Huygensschen Konstruktion oder aus den Randbedingungen für die Phase.
Was geschieht bei n₁ = n₂?: Das Minimum der OPL liegt auf der Geraden AB: kein Knick, Einfallswinkel gleich „Brechungswinkel“. Das ist geradlinige Ausbreitung im homogenen Medium.

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