Warum wächst das Verhältnis der Seilkräfte exponentiell und nicht linear?

Die Reibung an jedem Bogenstück hängt von der örtlichen Seilkraft ab. Weiter in der Wicklung ist T größer, größer die Normalkraft und größer der Reibungszuwachs am nächsten Stück. Dieses „Prozent auf Prozent“ integriert sich zu e^{μφ}.

Gilt die Formel noch, wenn das Seil schon rutscht?

T₂ = T₁ e^{μφ} ist die Bedingung des Grenzgleichgewichts, wenn die Reibung überall die maximale Haftreibung erreicht hat. Beim Gleiten nimmt man die Gleitreibungszahl, meist kleiner, und die Trägheit des Seils spielt mit. Hier geht es um das statische Halten an der Grenze.

Wie verderben Dicke und Biegesteifigkeit das Idealbild?

Das Modell nimmt das Seil unendlich dünn und biegeschlaff. Ein dickes oder steifes Seil widersteht der Biegung, der Druck auf den Zylinder verteilt sich anders, und die wirksame Reibung ändert sich. Für Winden ist das dann eine eigene Ingenieurkorrektur.

Wo braucht man das in der Praxis?

Festmacher am Spill oder am Poller: ein paar Windungen, und ein Mensch hält die Trosse. Bei μ ≈ 0,3 und drei vollen Windungen (φ = 6π) liegt das Verhältnis bei e^{0,3·6π} ≈ 500: 10 N halten etwa 5 kN.

Seil auf einem Zylinder

Grenzverhältnis der Seilkräfte T₂ = T₁ e^{μφ}: Reibungszahl μ und Umschlingungswinkel φ. Draufsicht und Graph T₂/T₁ über φ.

Diagramme

Zum Modell

Ein Seil auf einem Zylinder hält die Seilkraft T₂ mit einer viel kleineren Kraft T₁ am freien Ende. Im Grenzgleichgewicht gilt T₂ = T₁ e^{μφ}, wobei μ die Reibungszahl und φ der Umschlingungswinkel im Bogenmaß ist (Euler-Eytelwein-Formel). An einem kleinen Bogenelement ist die Normalkraft proportional zur Seilkraft, die Reibung gleich μ dN; die Integration über φ liefert die Exponentialfunktion. Sie können μ, φ und T₁ ändern; der Graph zeigt, wie T₂/T₁ mit dem Umschlingungswinkel wächst. Der Zylinder ist starr und fest, das Seil biegeschlaff, die Reibung hat überall die Grenze erreicht.

Für wen: Leistungskurs und erstes Semester: Reibung, Statik, Eulersche Formel für das biegeschlaffe Seil.

Wichtige Begriffe

Euler-Eytelwein-Formel
Reibung
Seilkraft
Reibungszahl
Umschlingungswinkel
Grenzgleichgewicht

So funktioniert es

Ein biegeschlaffes Seil umschlingt einen rauen Zylinder (Spill, Poller, Bremstrommel). Bei konstantem μ und Umschlingungswinkel φ im Bogenmaß ist das Grenzverhältnis der Seilkräfte vor dem Rutschen T₂/T₁ = e^{μφ}. Mehrere Windungen vergrößern φ stark, und selbst bei bescheidenem μ wird der Gewinn an Seilkraft groß. Auf dem Bildschirm: Draufsicht und Graph T₂/T₁ über φ.

Wichtige Gleichungen

T₂ = T₁ e^(μφ) (φ im Bogenmaß)

μ — Reibung Seil–Trommel; biegeschlaffes Seil, vernachlässigbare Biegesteifigkeit.

Häufige Fragen

Warum wächst das Verhältnis der Seilkräfte exponentiell und nicht linear?: Die Reibung an jedem Bogenstück hängt von der örtlichen Seilkraft ab. Weiter in der Wicklung ist T größer, größer die Normalkraft und größer der Reibungszuwachs am nächsten Stück. Dieses „Prozent auf Prozent“ integriert sich zu e^{μφ}.
Gilt die Formel noch, wenn das Seil schon rutscht?: T₂ = T₁ e^{μφ} ist die Bedingung des Grenzgleichgewichts, wenn die Reibung überall die maximale Haftreibung erreicht hat. Beim Gleiten nimmt man die Gleitreibungszahl, meist kleiner, und die Trägheit des Seils spielt mit. Hier geht es um das statische Halten an der Grenze.
Wie verderben Dicke und Biegesteifigkeit das Idealbild?: Das Modell nimmt das Seil unendlich dünn und biegeschlaff. Ein dickes oder steifes Seil widersteht der Biegung, der Druck auf den Zylinder verteilt sich anders, und die wirksame Reibung ändert sich. Für Winden ist das dann eine eigene Ingenieurkorrektur.
Wo braucht man das in der Praxis?: Festmacher am Spill oder am Poller: ein paar Windungen, und ein Mensch hält die Trosse. Bei μ ≈ 0,3 und drei vollen Windungen (φ = 6π) liegt das Verhältnis bei e^{0,3·6π} ≈ 500: 10 N halten etwa 5 kN.

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