Warum beschleunigt die Blase beim Aufsteigen?

Der Druck fällt, die Blase dehnt sich bei nahezu konstanter Gasmasse — verdrängtes Volumen und Auftrieb wachsen. Der Widerstand wächst ebenfalls mit Radius und Geschwindigkeit, daher läuft die Geschwindigkeit in ein Gleichgewicht ein und wächst nicht unbegrenzt.

Warum darf man die Trägheit nicht nur mit der Luftmasse im Inneren rechnen?

Die Gasmasse ist klein; das „nackte“ zweite Newtonsche Axiom gäbe eine unrealistisch große Beschleunigung. Zur Trägheit kommt die virtuelle Masse der Flüssigkeit ½ρV — wie bei einer Kugel in Potentialströmung.

Hängt die Auftriebskraft von der Tiefe ab?

Ja. Die Auftriebskraft ist gleich der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit ρgV. Beim Aufsteigen fällt der Druck, das Volumen wächst — der Auftrieb nach Archimedes nimmt zu.

Aufsteigende Blase (Archimedes)

Eine Blase idealen Gases dehnt sich beim Aufsteigen (p = p_atm + ρgy); Auftrieb gegen Gewichtskraft und Stokes-Reibung — Graphen von Tiefe und Geschwindigkeit.

Flüssigkeit und Gas (Isotherme)

Dichte der Flüssigkeit ρ1000 kg/m³

Temperatur T293 K

Dynamische Viskosität μ0.001 Pa·s

Gefäßtiefe1.6 m

Anfangsblase

Radius r₀ in der Tiefe y₀4.2 mm

Starttiefe y₀0.85 m

Die Tiefe y wird von der freien Oberfläche nach unten gezählt. Der Druck p(y) = p_atm + ρgy nimmt beim Aufsteigen ab, das isotherme ideale Gas dehnt sich (V ∝ 1/p). Die Stokes-Reibung begrenzt die Geschwindigkeit. Die Trägheit wird mit m_gas plus der virtuellen Masse der Flüssigkeit ½ρV gerechnet — sonst wäre die Beschleunigung unrealistisch groß.

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Gemessene Größen

Stoffmenge n (fest)1.3970e-5 mol

Gasmasse m0.0004 g

Volumen V3.1034e-7 m³

Radius r4.20 mm

Auftrieb ρgV0.00304 N

Resultierende (Gewichtskraft − Auftrieb)-0.00304 N

v (nach unten +)0.0000 m/s

Diagramme

Zum Modell

Eine kugelförmige Luftblase steigt in einer Flüssigkeitssäule auf. Der hydrostatische Druck nimmt zur freien Oberfläche hin ab, daher dehnt sich eine isotherme Blase idealen Gases beim Aufsteigen (V ∝ 1/p). Die Auftriebskraft ρgV wächst mit dem Volumen, die Gasmasse bleibt konstant — die resultierende Kraft nach oben nimmt zu, bis die viskose Stokes-Reibung sie ausgleicht. Für die TranslationsTrägheit gilt die effektive Masse m_Gas plus die virtuelle Masse der Flüssigkeit ½ρV (Kugel in Potentialströmung); nur m_Gas würde einen unrealistisch scharfen Aufstieg ergeben. Oberflächenspannung, Formschwingungen der Blase und Nachlaufdynamik fehlen.

Für wen: Hydrostatik, Archimedisches Prinzip und Zustandsgleichung des idealen Gases; Translation mit virtueller Masse.

Wichtige Begriffe

Archimedisches Prinzip
Auftriebskraft
hydrostatischer Druck
isotherme Expansion
Stokes-Reibung
virtuelle Masse

So funktioniert es

Eine Blase idealen Gases steigt in einer Flüssigkeitssäule auf. Druck p(y) = p_atm + ρgy, Volumen V = nRT/p wächst zur Oberfläche hin. Die Auftriebskraft ρgV nimmt bei konstanter Gasmasse zu; die Stokes-Reibung 6πμrv begrenzt die Geschwindigkeit. In die Bewegungsgleichung geht die effektive Masse m_Gas + ½ρV ein. Auf dem Bildschirm: Tiefe, Radius und Graphen y(t), v(t). Die Form ist kugelförmig, Oberflächenspannung fehlt.

Wichtige Gleichungen

p(y) = p_atm + ρgy, V = nRT/p(y) ⇒ V wächst, wenn y ↓ (zur Oberfläche)

m_eff v̇ = mg − ρgV − 6πμrv, m_eff = m_gas + ½ρV (Tiefe y nach unten, v = ẏ)

Häufige Fragen

Warum beschleunigt die Blase beim Aufsteigen?: Der Druck fällt, die Blase dehnt sich bei nahezu konstanter Gasmasse — verdrängtes Volumen und Auftrieb wachsen. Der Widerstand wächst ebenfalls mit Radius und Geschwindigkeit, daher läuft die Geschwindigkeit in ein Gleichgewicht ein und wächst nicht unbegrenzt.
Warum darf man die Trägheit nicht nur mit der Luftmasse im Inneren rechnen?: Die Gasmasse ist klein; das „nackte“ zweite Newtonsche Axiom gäbe eine unrealistisch große Beschleunigung. Zur Trägheit kommt die virtuelle Masse der Flüssigkeit ½ρV — wie bei einer Kugel in Potentialströmung.
Hängt die Auftriebskraft von der Tiefe ab?: Ja. Die Auftriebskraft ist gleich der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit ρgV. Beim Aufsteigen fällt der Druck, das Volumen wächst — der Auftrieb nach Archimedes nimmt zu.

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